三角形“四心”的向量性质及其应用
一、三角形的重心的向量表示及应用
命题一 已知 是不共线的三点, 是 内一点,若 ．则 是 的重心．
证明：如图1所示,因为 ,
所以 ．
以 , 为邻边作平行四边形 ,
则有 ,
所以 ．
又因为在平行四边形 中, 交 于点 ,
所以 , ．
所以 是 的边 的中线．
故 是 的重心．
点评：①解此题要联系重心的定义和向量加法的意义；②把平面几何知识和向量知识结合起来解决问题是解此类问题的常用方法．
例1 如图2所示, 的重心为 为坐标原点, , , ,试用 表示 ．
设 交 于点 ,则 是 的中点,
图2
而
点评：重心问题是三角形的一个重要知识点,充分利用重心性质及向量加、减运算的几何意义是解决此类题的关键．
变式：已知 分别为 的边 的中点．则 ．
证明：如图的所示,
图3
．．
变式引申：如图4,平行四边形 的中心为 , 为该平面上任意一点,
则 ．
证明： , ,
．
点评：（1）证法运用了向量加法的三角形法则,证法2运用了向量加法的平行四边形法则．（2）若 与 重合,则上式变为 0．
二、三角形的外心的向量表示及应用
命题二：已知 是 内一点,满足 ,则点 为△ABC的外心.
例2 已知G、M分别为不等边△ABC的重心与外心,点A,B的坐标分别为A（-1,0）,B（1,0）,且 ∥ ,（1）求点C的轨迹方程；（2）若直线 过点（0,1）,并与曲线交于P、Q两点,且满足 ,求直线 的方程.解 （1）设C（x,y）,则G（ ）,
其中 ,
由于 ∥ ,
故 ,
外心M（0, ）,
,得
轨迹E的方程是
（2）略.
三、三角形的垂心的向量表示及应用
命题三：已知 是 内一点,满足 ,则点G为垂心.（2005全国文12）
证明:由 .
即
则
所以P为 的垂心.
点评：本题将平面向量有关运算、“数量积为零,则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识巧妙结合.
变式：若H为△ABC所在平面内一点,且
则点H是△ABC的垂心
B
C
H
A
图6
证明:
0
即 0
同理 ,
故H是△ABC的垂心
四、三角形的内心的向量表示及应用
命题四：O是内心 的充要条件是
变式1：如果记 的单位向量为 ,则O是 内心的充要条件是
变式2：如果记 的单位向量为 ,则O是 内心的充要条件也可以是 .
例4（2003江苏）已知O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,满足 , ,则P的轨迹一定通过△ABC的内心 .
P
E
C
O
A
B
D
图7
如图 由已知
,
,
设 , ,
D、E在射线AB和AC上.
AP是平行四边行的对角线.
又 ,
ADPE是菱形.
点P在 即 的平分线上.
故P点的轨迹一定通过△ABC的内心.
五、三角形外心与重心的向量关系及应用
命题五：设△ABC的外心为O,则点G为△ABC重心的充要条件为：
图8
证明：如图8,设G为重心,连结AG并延长,交BC于D,则D为BC的中点.
∴
反之,若 ,
则由上面的证明可知：
设D为BC的中点,则 ,
从而 ,
∴G在中线AD上且AG= AD,即G为重心.
六、三角形外心与垂心的向量关系及应用
命题六：设△ABC的外心为O,则点H为△ABC的垂心的充要条件是 .
证明：如图2,若H为垂心,以OB、OC为邻边作平行四边形OBDC,
图9
则
∵O为外心,
∴OB=OC,
∴平行四边形OBDC为菱形
∴ OD⊥BC,而AH⊥BC,
∴ AH∥OD,
∴存在实数 ,使得
∴ ①.
同理,存在实数 , ,使得
②
③
比较①、②、③可得, ,
∴
反之,若 ,则 ,
∵ O为外心,∴OB=OC
∴
∴AH⊥CB,同理,BH⊥AC.
∴ H为垂心.
例6、已知H是△ABC的垂心,且AH=BC,试求∠A的度数
设△ABC的外接圆半径为R,点O是外心.
∵ H是△ABC的垂心
∴
∴
∴
∵ ,
∴
∵AH=BC,
∴
∴
而∠A为△ABC的内角,
∴ 0＜2A＜360° 从而2A=90°或270°
∴ ∠A的度数为45°或135°.
七、三角形的外心、重心、垂心的向量关系及应用
命题七：△ABC的外心、重心、垂心分别为O、G、H,则O、G、H三点共线（O、G、H三点连线称为欧拉线）,且OG= GH.
图10
证明：如图10,由命题五、六知,连结AG并延长,交BC于D,则D为BC的中点.
, ,
∴
∴O、G、H三点共线,且OG= GH.
例7、已知O（0,0）,B（1,0）,C（b,c）,是 OBC的三个顶点.试写出 OBC的重心G,外心F,垂心H的坐标,并证明G、F、H三点共线.（2002年全国）
重心G为 ,设H点的坐标为
∵ ,BC=(b-1,c),
,故
H点的坐标为
设外心F的坐标为 由|FO|=|FC|,得 ,
所以F点的坐标为（ , ）.
从而可得出GH=（ , ）,FH=（ , ）
,GH∥FH,F、G、H三点共线.
点评：向量不仅是平面解析几何入门内容,而且是解在关数形结合问题的重要工具.它一般通过概念的移植、转化,将坐标与向量结合起来,从而使一些难题在思路上获得新的突破.
例8、已知P是非等边△ABC外接圆上任意一点,问当P位于何处时,PA2+PB2+PC2取得最大值和最小值.
如图11,设外接圆半径为R,点O是外心,则
图11
PA2+PB2+PC2=
（由命题六知：H为垂心,）
∴当P为OH的反向延长线与外接圆的交点时,有最大值6R2+2R·OH
当P为OH的延长线与外接圆的交点时,有最小值6R2－2R·OH
