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第十八届“希望杯”全国数学邀请赛
初一第 2试
2007年4月15日上午8：30至10：30
一、选择题（本大题共10小题,每小题4分,共40分）以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内.
1、 假定未拧紧的水龙头每秒钟渗出2滴水,每滴水约0.05毫升,现有一个水龙头未拧紧,4小时后,才被发现拧紧,在这段时间内,水龙头共滴水约（ ）（用科学记数法表示,结果保留两位有效数字）
（A）1440毫升. （B） 毫升. （C） 毫升. （D） 毫升.
2、 如图1,直线L与∠O的两边分别交于点A、B,则图中以O、A、B为端点的射线的条数总和是（ ）.
（A）5． （B）6. （C）7. (D)8.
3、 整数a,b满足：ab≠O且a+b＝O,有以下判断：
○1a,b之间没有正分数； ○2a,b之间没有负分数；
○3a,b之间至多有一个整数； ○4a,b之间至少有一个整数 .
其中,正确判断的个数为（ ）
（A）1． （B）2. (C)3. (D)4.
4、 方程 的解是 x＝（ ）
（A） （B） (C) (D)
5、 如图2,边长为1的正六边形纸片是轴对称图形,它的对称轴的条数是（ ）.
（A）1. (B)3. (C)6. (D)9.
6、 在9个数：－5,－4,－3,－2,－1,0,1,2,3中,能使不等式－3 ＜－14成立的数的个数是（ ）
（A）2. (B)3. (C)4. (D)5.
7、 韩老师特制了4个同样的立方块,并将它们如图3（a）放置,然后又如图3（b）放置,则图3（b）中四个底面正方形中的点数之和为（ ）
（A）11. (B)13. (C)14. (D)16.
图3
8、 对于彼此互质的三个正整数 ,有以下判断：
① 均为奇数 ② 中必有一个偶数 ③ 没有公因数 ④ 必有公因数
其中,不正确的判断的个数为（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
9、 将棱长为1厘米的42个立方体积木拼在一起,构成一个实心的长方体.如果长方体底面的周长为18厘米,那么这个长方体的高是（ ）
（A）2厘米 （B）3厘米 （C）6厘米 （D）7厘米
10、 If ,then ( )
(A) (B)
(C) (D)
二、填空题（本大题共10小题,每小题4分,共40分）
11、 若有理数 满足 ,则
12、 今天（2007年4月15日,星期日）是第18届“希望杯”全国数学邀请赛举行第2试的日子,那么几天以后的第 天是星期
13、 孔子诞生在公元前551年9月28日,则2007年9月28日是孔子诞辰 周年.（注：不存在公元0年）
14、 In Fig.4,ABCD is a rectangle.,The area of the shaded rectangle is
15、 下表是某中学初一（5）班2007年第一学期期末考试数学成绩统计表：
分数 40------59 60-------70 71-------85 86------100
人数 5 19 12 14
这个班数学成绩的平均分不低于 分,不高于 分.（精确到 ）
16、 已知 ,其中 代表非0数字,那么
17、 某城市有一百万户居民,每户用水量定额为月平均5吨,由于6,7,8月天热,每户每月多用水1吨,为了不超过全年用水定额,则全年的其它月份每户的用水量应控制在每月平均 吨之内.如果每户每天节约用水2千克,则全市一年（按365天计）节约的水量约占全年用水定额的 %（保留三位有效数字）
18、 都是质数,且满足 ,则
19、 一项机械加工作业,用4台A型车床,5天可以完成：用4台A型车床和2台B型车床,3天可以完成；用3台B型车床和9台C型车床,2天可以完成.若A型、B型和C型车床各一台一起工作6天后,只余下一台A型车床继续工作,则再用 天就可以完成这项作业
20、 设 ,则 和 四个式子中,值最大的是
值最小的是
三、解答题（本大题共3小题,共40分） 要求：写出推算过程.
21、 （本题满分10分）
小明在平面上标出了2007个点并画了一条直线L,他发现：这2007个点中的每一点关于直线L的对称点,仍在这2007个点中,请你说明：这2007个点中至少有1个点在直线L上.
22、 （本题满分15分）
小明和哥哥在环形跑道上练习长跑.他们从同一起点沿相反方向同时出发,每隔25秒钟相遇一次.现在,他们从同一起跑点沿相同方向同时出发,经过25分钟哥哥追上了小明,并且比小明多跑了20圈,求：
（1） 哥哥速度是小明速度的多少倍?
（2） 哥哥追上小明时,小明跑了多少圈?
23、 （本题满分15分）
满足1＋3n≤2007,且使得1＋5n是完全平方数的正整数n共有多少个?
答案：
一、 选择题（每小题4分.）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D A C C C D C B D
二、 填空题（每小题4分；两个空的小题,每个空2分.）
题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
答案
三
2557
18 67；9；80；9
98 ；1.22
2
三．解答题
21．假设这2007个点都不在直线L上,由于其中每个点 （i＝1,2,……,2007）关于直线L的对称点 仍在这2007个点中,所以 不在直线L上.
也就是说,不在直线L上点 （i＝1,2,……,2007）与 关于直线L对称的点 成对出现,即平面上标出的点的总数应是偶数个,与点的总数2007相矛盾!
因此,“这2007个点都不在直线L上”的假设不能成立,即这2007个点中至少有1个点在直线L上.
22．设哥哥的速度是 米/秒,小明的速度是 米/秒.环形跑道长s米.
（1）由“经过25分钟哥哥追上小明,并且比小明多跑了20圈”,知
经过 分钟哥哥追上小明,并且比小明多跑了1圈.所以
整理,得,
所以, .
(2)根据题意,得
即 解得,
故经过了25分钟小明跑了
（2）另解 由 ,知小明每跑1圈,哥哥就比小明多跑1圈,所以当哥哥比小明多跑20圈时,小明也跑了20圈.
23．由条件1＋3n≤2007得
n≤668,n是正整数.
设1＋5n＝ （m是正整数）,则
,这是正整数.
故可设m＋1＝5k,或m-1=5k（k是正整数）
○1当m+1=5k是, ,由
,得,k≤11
当k=12时, ＞668.
所以,此时有11个满足题意的正整数n使1＋5n是完全平方数；
○2当m－1＝5k时, ,
又 ＜ ,且当k＝11时 ＜668,
所以,此时有11个满足题意的正整数n使1＋5n是完全平方数.
因此,满足1＋3n≤2007且使1＋5n使完全平方数的正整数n共有22个.
