设各项都为正数的数列an 前n项和为sn 且满足Sn=1/2(an+1/an)

n=1时,S1=a1=1/2(a1+1/a1),a1=1.
n=2时,S2=a1+a2=1+a2=1/2(a2+1/a2),a2=√2-1.
n=3时,S3=a1+a2+a3=√2+a3=1/2(a3+1/a3),a3=√3-√2.
猜想有结论：通项公式an=√n-√(n-1).
上面已证,n=1时,结论成立.假设n=1,2,...,k时,结论成立,
即a1=1,a2=√2-1,...,ak=√k-√(k-1),则
S(k+1)=a1+a2+...+ak+a(k+1)=√k+a(k+1)=1/2[a(k+1)+1/a(k+1)],
[a(k+1)]^2=2√ka(k+1)-1=0,
a(k+1)=√(k+1)-√k,
结论对n=k+1也成立,所以结论对任何正整数成立.