求自然数1^5+2^5+……+99^5+100^5除以8所得的余数.

这道题有特殊情况,就是都是5次方,而8等于2的三次方,所以,所有的偶数的五次方除以8都可以整除.
我们只考虑技术的情况.
可能的余数为1,3,5,7
又有a^n 和a^(4k+n)同模,如果不知道,可以把各个的五次方算出来,再求除以8的余数.
所有我们得到1^5+...+100^5 和 1^5+3^5+5^5+...+99^5 和1+3+5+...+99 除以8的余数相同
我们现在只讨论1+3+5+...+99
一种想法,求和,1+3+5+...+99 = 2500,除以8的余数为4
另一种,由于余数的循环性,即,这些奇数除以8的余数是循环的,
1,3,5,70,1,3,5,7.
看到1+3+5+7=16 除以8的余数为0
99除以8的余数为3,所以前面的一个奇数除以8的余数为1
最终这些奇数除以8的余数即为 1+3=4
所以最终的结论即为4
注意,由于8不是质数,所以不能一开始就运用a^n 和a^(4k+n)同模的理论来简化问题.