问题描述：
已知：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，点M是CE的中点，连接BM．
（1）如图1，当点D、E分别在AC、AB上时，请判断△BMD的形状．
（2）如图2，点D在AB上，连接DM，并延长DM交BC于点N，探究BD与BM的数量关系，并给出证明．
（3）如图3，点D不在AB上，（2）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由．
（1）如图1，当点D、E分别在AC、AB上时，请判断△BMD的形状．
（2）如图2，点D在AB上，连接DM，并延长DM交BC于点N，探究BD与BM的数量关系，并给出证明．
（3）如图3，点D不在AB上，（2）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由．
问题解答：
我来补答
（1）△BMD是等腰三角形，
理由是：∵∠ABC=∠ADE=90°，
∴∠EDC=90°，
∵点M是CE的中点，
∴BM=
1
2CE，DM=
1
2CE，
∴BM=DM，
∴△BMD是等腰三角形；
（2）BD=
2BM，
证明：∵∠ABC=∠ADE=90°，
∴ED∥BC，
∴∠DEM=∠MCB，
在△EMD和△CMN中
∠DEM＝∠NCM
EM＝CM
∠EMD＝∠NMC
∴△EMD≌△CMN（ASA），
∴CN=DE=DA，MN=MD，
∵BA=BC，
∴BD=BN，
∴△DBN是等腰直角三角形，且BM是底边的中线，
∴BM⊥DM，∠DBM=
1
2∠DBN=45°=∠BDM，
∴△BMD为等腰直角三角形．
∴BD=
2BM；
（3）结论成立．
证明：过点C作CF∥ED，与DM的延长线交于点F，连接BF，
可证得△MDE≌△MFC，
∴DM=FM，DE=FC，
∴AD=ED=FC，
作AN⊥EC于点N，
由已知∠ADE=90°，∠ABC=90°，
可证得∠DEN=∠DAN，∠NAB=∠BCM，
∵CF∥ED，
∴∠DEN=∠FCM，
∴∠BCF=∠BCM+∠FCM=∠NAB+∠DEN=∠NAB+∠DAN=∠BAD，
∴△BCF≌△BAD，
∴BF=BD，∠DBA=∠CBF，
∴∠DBF=∠DBA+∠ABF=∠CBF+∠ABF=∠ABC=90°，
∴△DBF是等腰直角三角形，
∵点M是DF的中点，
则△BMD是等腰直角三角形，
∴BD=
2BM．
理由是：∵∠ABC=∠ADE=90°，
∴∠EDC=90°，
∵点M是CE的中点，
∴BM=
1
2CE，DM=
1
2CE，
∴BM=DM，
∴△BMD是等腰三角形；
（2）BD=
2BM，
证明：∵∠ABC=∠ADE=90°，
∴ED∥BC，
∴∠DEM=∠MCB，
在△EMD和△CMN中
∠DEM＝∠NCM
EM＝CM
∠EMD＝∠NMC
∴△EMD≌△CMN（ASA），
∴CN=DE=DA，MN=MD，
∵BA=BC，
∴BD=BN，
∴△DBN是等腰直角三角形，且BM是底边的中线，
∴BM⊥DM，∠DBM=
1
2∠DBN=45°=∠BDM，
∴△BMD为等腰直角三角形．
∴BD=
2BM；
（3）结论成立．
证明：过点C作CF∥ED，与DM的延长线交于点F，连接BF，
可证得△MDE≌△MFC，
∴DM=FM，DE=FC，
∴AD=ED=FC，
作AN⊥EC于点N，
由已知∠ADE=90°，∠ABC=90°，
可证得∠DEN=∠DAN，∠NAB=∠BCM，
∵CF∥ED，
∴∠DEN=∠FCM，
∴∠BCF=∠BCM+∠FCM=∠NAB+∠DEN=∠NAB+∠DAN=∠BAD，
∴△BCF≌△BAD，
∴BF=BD，∠DBA=∠CBF，
∴∠DBF=∠DBA+∠ABF=∠CBF+∠ABF=∠ABC=90°，
∴△DBF是等腰直角三角形，
∵点M是DF的中点，
则△BMD是等腰直角三角形，
∴BD=
2BM．
展开全文阅读