问题描述：
如图,四边形ABCD为矩形,AB＝4,AD＝3,动点M、N分别从D、B同时出发,以1个单位/秒的速度运动,点M沿DA向终点A运动,点N沿BC向终点C运动.过点N作NP⊥BC,交AC于点P,连结MP.已知动点运动了x秒．
（1）请直接写出PN的长；（用含的代数式表示）
（2）若0秒≤x≤1秒,试求△MPA的面积S与时间秒的函数关系式,利用函数图象,求S的最大值.
（3）若0秒≤x≤3秒,△MPA能否为一个等腰三角形?若能,试求出所有的对应值；若不能,试说明理由．
问题解答：
我来补答
1、设PN长为a
因为四边形是矩形,且NP⊥BC
∴NP∥AB
可以证明△CNP∽△CBA（过程省略,这个证明比较简单）
∴NP：AB=CN：BC=（3-x）：3
∴NP=4-4x/3（0≤x≤3）
2、延长NP交AB于O点
OP⊥AB
∴S△MPA=0.5AM×OP=0.5×（AD-MD）（ON-NP）
=0.5×（3-x）【4-（4-4x/3）】
=-2/3 x²+2x
=-2/3（x²-3x+9/4-9/4）
=-2/3 （x-3/2）²+3/2（0≤x≤1）
函数开口向下,对称轴为x=3/2,当0≤x≤1时,函数为增函数,故当x=1时S有最大值
代入得S最大值为4/3
3、假设存在,那有三种可能,即MA=MP或MA=AP或MP=AP
单纯表示会有根号,我们可以这样表示即MA²=MP²或MA²=AP²或MP²=AP²（以上是思路）
过P点做PH⊥AB交AB于H点,延长HP交CD于K点,显然PK⊥CD,
那么有OP=AH=ON-PN=AB-PN=4-（4-4x/3）=4x/3,OM=2x-3或3-2x（都没关系,反正等下要平方的）
利用勾股定理得
AP²=AH²+HP²=OP²+BN²=（4x/3）²+x²①
MA²=（3-x）²②
MP²=OM²+OP²=（2x-3）²+（4x/3）²③
一个个验证
第一种：AP=MA
即①=②
那么（4x/3）²+x²=（3-x）²
即（5x/3）²=（3-x）²
∴x=9/8或-9/2（舍去）
第二种：AP=MP
即①=③
那么（4x/3）²+x²=（2x-3）²+（4x/3）²
∴x²=（2x-3）²
∴x=1或x=3（舍去,x=3时△MPA不可能为三角形）
第三种：MA=MP
即②=③
那么（3-x）²=（2x-3）²+（4x/3）²
求得x=0（舍去）或x=54/43
∴存在X=9/8或x=1或x=54/43时,△MPA为等腰三角形.
求最佳啊,整晚时间都在做这个了,写了好多.
