p(x)为F上的不可约多项式,存在a0,使得p(a)=0,p(1/a)=0;证明任意b,如果p(b)=0,则p(1/b)

设p(x)为n次多项式,考虑q(x) =x^n·p(1/x),可知q(x)也为F上的n次多项式.
∵p(x)和q(x)有公共根a,∴p(x),q(x)有次数大于1的公因式.
又∵p(x)不可约,∴p(x) | q(x).
若p(b) = 0,则有q(b) = 0.
∵p(x)不可约,∴b ≠ 0.
于是由b^n·p(1/b) =q(b) = 0,可得p(1/b) = 0.
再问： 谢谢回答！但我有一个问题：p(x)和q(x)有公共根a无法推出p(x)和q(x)在F上有次数大于0的公因式，因为a应该不属于F的
再答： 这个是这样的, 假设p(x), q(x)没有次数大于1的公因式, 即二者互素. 则存在u(x), v(x)使u(x)f(x)+v(x)g(x) = 1. 代入x = a即得 0 =1, 矛盾. 所以有公共根的多项式不可能互素, 与根所在的域无关. 这个结论最好记住.