三个自然数，其中每一个数都不能被另外两个数整除，而其中任意两个数的乘积却能被第三个数整除，那么这样的三个自然数的和的最小

根据题意可知，三个数的形式应为：ab，ac，bc，
其中a，b，c两两互质，且不能为1．
取最小的三个，两两互质的数2，3，5，
得三个数分别为2×3=6，2×5=10，3×5=15．
6+10+15=31．
答：三个自然数的和的最小值是31．