如果4X+1,是一个质数,（X是正整数）则4X+1必然能够表示成两个整数的平方和?

首先声明,不是我想出来的,只不过是前人的成果而已.
基本的数论知识我这里就不重复了.过程比较长,也很抽象,但也算是够"异想天开"的.
第一步
令4X+1=p为质数.
在{1,2,3,...,p-1}中,对任一个元素x,定义子集{x,(-x),(1/x),(-1/x)}
注意,-x,1/x,-1/x这三个是在同余意义下的加法逆和乘法逆,其具体定义为:
如果y=(-x),那么有x+y=1(mod p),
如果y=(1/x),那么有xy=1(mod p),
如果y=(-1/x),那么有xy=-1(mod p),
由于p为质数,这3个逆总是存在的.
把这个子集称为一个组,通常这个组包括4个元素.他们相互等价,知道任一个,都可以推出其余3个.
注意到特殊情况,即一个组可能有重复元素,从而只包括2个元的情况.(不可能有一个元的情况,因为x=-x(mod p)在p为奇数时不可能成立)
或者x=1/x(mod p),也即是x^2=1(mod p),此时这个组为{1,p-1},总是存在且唯一.
或者x=-1/x(mod p),也即是x^2=-1(mod p).此时这个组设为{s,t},是否存在尚未知.
因为p=4x+1,那么{1,2,...,p-1}能被4整除.把所有4元组排除之后和{1,p-1}排除之后,还剩两个数,这两个数只能是上面最后一种情况,所以必然存在{s,t}满足s^2=t^2=-1(mod p).
第二步
令u,v∈{0,1,2,...,[根号p]},并使其两两配对.显然,(u,v)这样的整数对共有( [根号p]+1 )^2对.总数是多于p的.定义二元函数u-s*v.
那么对每个s,存在这样两队(u1,v1)和(u2,v2)使得:
u1 - s*v1 = u2 - s*v2(mod p)
或(u1-u2)=s*(v1-v2)(mod p)
定义u=|u1-u2|; v=|v1-v2|
由于是不同的两队,所以u,v不全为零且u,v