1求幂级数收敛域但级数缺项问题； 2求和函数为何先求导再积分； 3线性代数求特征值特征向量的问题.

1求幂级数收敛域但级数缺项问题； 2求和函数为何先求导再积分； 3线性代数求特征值特征向量的问题.
1）比如 ∑AnX^2n,因为缺奇数项不能直接用系数比值的方法直接求收敛半径,所以可令y=X^2 转化为 ∑AnY^n标准形式,如果是奇数型怎么代换?
(n从1到∞)∑(nX^2n-1)/[4^n+(-3)^n] ,这道题求收敛半径,X的2n-1次方怎么换成标准形式?用的是另一种方法,但是不太理解,如下：
当x=0时级数必然收敛,当x≠0时,设Un(x)为级数,则lim(n→∞)│Un+1(x)/Un(x)│=1/4x^2（1/4倍的x平方）,用比值判别法知道,当1/4x^2＜1时幂级数绝对收敛,而当1/4x^2＞1时幂级数发散,故幂级数的收敛半径为2.
我就不太清楚,考试时什么类型的题目用哪个方法好点?对于比值法不是比较有局限性么?
2）我也知道就得这样做,但有点钻牛角尖,想知道为什么还就他妈的得这么做,而且求和函数在级数的收敛区间内随便逐项求导或积分,为什么依然还是原级数的和函数?
ps.对于和函数求积分时,积分上下限怎么确定的?
3）求特征值时,令(λE-A)x=0,但是λE为何写前面,这样的话矩阵内不是每一项都要变号么,用A-λE更简单些啊,为什么练习上都是用的(λE-A)x=0来求特征向值?
大学的时候就没学好,现在复习考研,发现好多薄弱的地方,求详解.