[(2+e的x分之1)/(1+e的x分之2)+ |x|/x]在x趋向于0时的极限

(x->0)lim[2+e^(1/x)]/[(1+e^(2/x)] + |x|/x
=(t->∞)lim(2+e^t)/(1+e^2t) + t/|t| 变换变量 t=1/x
=(t->∞)lim(2/e^t+1)/(1/e^t+e^t) + t/|t|
=(t->∞)lim 1/e^t + t/|t|
=(t->∞)lim t/|t|
t->+∞,原式=1
t->-∞,原式=-1
故原式不存在极限
再问： 答案是存在，结果是1
再答： 考虑到 (x->0+) lim e^(1/x) =∞，(x->0-) lim e^(1/x) =0 (x->0+) lim [2+e^(1/x)]/[(1+e^(2/x)] + |x|/x =(x->0+) lim [2/e^(1/x)+1]/[1/e^(1/x)+e^(1/x)] + x/x =(x->0+) lim 1/e^(1/x) + x/x =0+1 =1 (x->0-) lim [2+e^(1/x)]/[(1+e^(2/x)] + |x|/x =(x->0-) lim 2/(1+0^2) - x/x =2-1 =1 在x=0处的左极限和右极限相等，所以原式的极限为 1. 原式前半部分 [2+e^(1/x)]/[(1+e^(2/x)] 的左右极限分别为 2 和 0，后半部分 |x|/x 的左右极限分别为 -1 和 1，相加后左右极限刚好都等于 1，因此原式极限为 1，这就是真相。需要对间断点 x=0 进行讨论，否则按常规方法很容易出错。