把不等式“若a1 a2是正实数.则有a1^2/a2+a2^2/a1>=a1+a2”推广到一般形式并证明,还请回答我的下一

推广 a1^2/a2+a2^2/a3+a3^2/a4+……an^2/a1>=a1+a2+……an
由柯西不等式
【(a1)^2+(a2)^2+...+(an)^2】【(b1)^2+(b2)^2+...（bn)^2】≥(a1b1+a2b2+a3b3+..+anbn)^2
等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn
【(√a2)^2+...+(√an)^2+(√a1)^2】【（a1/√a2）^2+（a2/√a3）^2+……（an/√a1）^2】
≥(√a2*a1/√a2+√a3*a2/√a3+……+√a1*an/√a1)^2
也就是（a1+a2+……an）【（a1/√a2）^2+（a2/√a3）^2+……（an/√a1）^2】≥
（a1+a2+……an）^2
即a1^2/a2+a2^2/a3+a3^2/a4+……an^2/a1>=a1+a2+……an
像你那样推广的话应是
a1^n/a2a3a4...an+a2^n/a1a3a4...an+...an^n/a1a2a3...a(n-1)≥a1+a2+a3+...+an
上面柯西的那种是只将元素个数变为了n,次数还是2次,这种是元素个数与次数都变为了n
不管怎么变,右边只有一次项a1,a2……,所以左边每一项都要同样是一次,
a1^2/a2 相当于二次项除以一次项=一次项,a1^n/a2a3a4...an是n次项除以（n-1）次项=一次项
也就是左右次数要相等,这就是推广规则
再问： a1^n/a2a3a4...an+a2^n/a1a3a4...an+...an^n/a1a2a3...a(n-1)≥a1+a2+a3+...+an 这个是正确的吗？怎么证明
再答： 是正确的，证明比较麻烦啊。 将上式两边同乘a1a2a3...an得到 a1^(n+1)+a2^(n+1)+...an^(n+1)≥（a1+a2+a3+...+an）a1a2a3...an 可用数学归纳法证这个式子 n=2时，要证a1^3+a2^3≥（a1+a2）a1a2 ，左边-右边=a1^2（a1-a2）-a2^2(a1-a2) = (a1^2-a2^2)(a1-a2) =(a1+a2)(a1-a2) ^2 >=0 ,所以n=2时成立 设n=k时成立，即a1^(k+1)+a2^(k+1)+...ak^(k+1)≥（a1+a2+a3+...+ak）a1a2a3...ak （1） 则n=k+1时， 考虑 (1)对任意k个数成立，从a1,a2……a(k+1)中取k个数有k+1 中取法，所以有k+1个式子，分别如下： a2^(k+1)+a3^(k+1)+...a(k+1)^(k+1)≥（a2+a3+...+a(k+1)）a2a3...a(k+1) ,两边同乘a1得[a2^(k+1)+a3^(k+1)+...a(k+1)^(k+1)]*a1≥（a2+a3+...+a(k+1)）a1*a2a3...a(k+1) a1^(k+1)+a3^(k+1)+...a(k+1)^(k+1)≥（a1+a3+...+a(k+1)）a1a3...a(k+1) ,两边同乘a2得[a1^(k+1)+a3^(k+1)+...a(k+1)^(k+1)]*a2≥（a1+a3+...+a(k+1)）a2*a1a3...a(k+1) …… [a1^(k+1)+a3^(k+1)+...ak^(k+1)]*a(k+1)≥（a1+a2+...+ak)）a(k+1)*a1a3...ak 将这k+1个式子 相加得 ∑ap^(k+1)*aq ≥ k*(a1+a2+...+ak+a(k+1)）*a1a2a3...a(k+1) ， （2） 左边∑ 是对p,q=1,2……k+1 求和，且p≠q，这样求和刚好有k*（k+1）项 ， n=k+1时要证 a1^(k+2)+a2^(k+2)+...ak^(k+2)+a（k+1）^(k+2)≥（a1+a2+a3+...+a(k+1)）a1a2a3...a(k+1) 该式右边就是（2）右边/k ，所以要证本式只需证 k*[a1^(k+2)+a2^(k+2)+...ak^(k+2)+a（k+1）^(k+2)] ≥ ∑ap^(k+1)*aq (3) (3)式左边有k*（k+1）项,右边也有k*（k+1）项 ，所以可以想到对某一p，q来证明 取（3）左边两项 ap^(k+2)+aq^(k+2) ,取（3）右边两项ap^(k+1)*aq +aq^(k+1)*ap ap^(k+2)+aq^(k+2) -ap^(k+1)*aq -aq^(k+1)*ap =ap^(k+1)*(ap-aq) -aq^(k+1)*(ap-aq) = [ap^(k+1) -aq^(k+1)]*(ap-aq) = [ap^k+ap^(k-1)aq+ap^(k-2)aq^2 +……aq^k]*(ap-aq)^2 >=0 这是对任意 p,q成立，对所有p,q求和， (3) 式得证 ， 这样，假设n=k时结论成立，则n=k+1时结论也成立 由数学归纳法可证结论