1/（n ln(n+1)）(n=1到无穷求和) 这个级数是收敛的还是发散的,怎么证明

答：
柯西积分判别法:若f(x)x>0是非负的不增函数,则级数∑[n从1到正无穷]f(n)与积分∫[1到正无穷]f(x)dx同时收敛或同时发散.
记f(x)=1/(xln(x+1)),满足f(x)x>0是非负的不增函数.
因为1/(nln(n+1))>1/((n+1)ln(n+1))
∫[1到正无穷]1/((x+1)ln(x+1)) dx
=lnln(x+1)[1到正无穷]
=+∞
所以级数 ∑[n从1到正无穷]1/((n+1)ln(n+1)) 发散,由比较判别法知：
级数 ∑[n从1到正无穷]1/(nln(n+1)) 发散.