若y=(ax+b)/(cx+d),a,b,c,d为有理数,x为无理数,求证bc=ad时,y为有理数,bc不等于ad时,y

移项,得到ax+b=(cx+d)y=cxy+dy,(a-cy)x=dy-b
bc=ad时,y为有理数,这一步直接代进去就有了,比较显然
bc≠ad时,用反证法,假设y为有理数,则a-cy,dy-b为有理数,于是
(a-cy)x为无理数或0,所以必然应该a-cy=dy-b=0,由此得bc=ad
这里用到了无理数和非零有理数乘积为无理数,然后有理数加减乘除的封闭性.