问题描述：
在平面直角坐标系中,抛物线y=-1/2x^2+bx+c的图像与直线y=-1/2x+3交于A,B两点,且点A在y轴上,点B的坐标.
在平面直角坐标系中,抛物线y=-1/2x^2+bx+c的图像与直线y=-1/2x+3交于A,B两点,且点A在y轴上,点B的坐标是（4,1）问：（1）求抛物线的函数解析式；（2）过点A作AC⊥AB交x轴于点C 1、求点C的坐标 2、在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得△PAC的周长最小,若存在,求出此时PA+PC的值,若不存在,说明理由； 3、除点C外,在坐标轴上是否催在点Q,使得△QAB为直角三角形?若存在,直接写出所有能使△QAB为直角三角形点Q的坐标；若不存在,请说明理由.
在平面直角坐标系中,抛物线y=-1/2x^2+bx+c的图像与直线y=-1/2x+3交于A,B两点,且点A在y轴上,点B的坐标是（4,1）问：（1）求抛物线的函数解析式；（2）过点A作AC⊥AB交x轴于点C 1、求点C的坐标 2、在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得△PAC的周长最小,若存在,求出此时PA+PC的值,若不存在,说明理由； 3、除点C外,在坐标轴上是否催在点Q,使得△QAB为直角三角形?若存在,直接写出所有能使△QAB为直角三角形点Q的坐标；若不存在,请说明理由.
问题解答：
我来补答
(1)
直线与y轴交于 A(0,3)
抛物线与y轴交于(0,c),c = 3
y = -x²/2 + bx + 3
x = 4,y = -8 + 4b + 3 = 1,b = 3/2
y = -x²/2 + 3x/2 + 3
(2)
AB的斜率为-1/2,AC的斜率为2
AC在y轴上的截距为3,AC的方程:y = 2x + 3
y = 0,x = -3/2
C(-3/2,0)
抛物线的对称轴为x = 3/2
C关于对称轴的对称点为C'(9/2,0)
AC的方程为:x/(9/2) + y/3 = 1
与对称轴的交点即为P(3/2,2)
过B做AB的垂线,其斜率也是2, 方程为y - 1 = 2(x - 4)
令y = 0,x = 7/2,Q(7/2,0)
令x = 0,y = -7,Q(0,-7)
另外,以AB为直径的圆方程为(x - 2)² + (y - 2)² = 5
令y = 0,x = 1或3,Q(1,0),(3,0)
令x = 0,y = 1 (舍去y = 3, 此为A)
参见图
直线与y轴交于 A(0,3)
抛物线与y轴交于(0,c),c = 3
y = -x²/2 + bx + 3
x = 4,y = -8 + 4b + 3 = 1,b = 3/2
y = -x²/2 + 3x/2 + 3
(2)
AB的斜率为-1/2,AC的斜率为2
AC在y轴上的截距为3,AC的方程:y = 2x + 3
y = 0,x = -3/2
C(-3/2,0)
抛物线的对称轴为x = 3/2
C关于对称轴的对称点为C'(9/2,0)
AC的方程为:x/(9/2) + y/3 = 1
与对称轴的交点即为P(3/2,2)
过B做AB的垂线,其斜率也是2, 方程为y - 1 = 2(x - 4)
令y = 0,x = 7/2,Q(7/2,0)
令x = 0,y = -7,Q(0,-7)
另外,以AB为直径的圆方程为(x - 2)² + (y - 2)² = 5
令y = 0,x = 1或3,Q(1,0),(3,0)
令x = 0,y = 1 (舍去y = 3, 此为A)
参见图
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