已知平面直角坐标系上有A（a,0）、B（0,－b）、C（b,0）三点,且a≥b＞0,抛物线y＝(x－2)(x－m)－(n－
抛物线y＝(x－2)(x－m)－(n－2)(n－m)（m、n为常数，且m＋2≥2n＞0）经过点A和点C，顶点为P．
（1）当m、n满足什么关系时，△AOB的面积最大？
（2）如图，当△ACP为直角三角形时，判断以下命题是否正确：“直角三角形DEF的三个顶点都在这条抛物线上，且DE‖x轴，那么△ACP与△DEF斜边上的高相等”，如果正确请予以证明，不正确请举出反例．
变形抛物线方程为y=(x-2)(x-m)-(n-2)(n-m)=(x-n)(x+n-m-2)
因为m+2≥2n,即m+2-n≥n,所以点m+2-n在点n右边.又抛物线过A点和C点,所以a=m+2-n,b=n
(1)S△AOB=ab/2=(m+2-n)n/2≤{[(m+2-n)+n]/2}^2/2=(m+2)^2/8
当且仅当m+2-n=n时取“=”,此时m+2=2n
(2)图呢?没图怎么知道DE在哪儿?
再问： A,C是抛物线与X轴的焦点
再答： 是的啊，我又没写错。第一问是对的，第二问需要图
再问： 我没办法输入图片，你自己画一下，A，C在X轴正轴，开口向上，P是顶点
再答： 我自己花了的，A、C、P都可以自己标，是准确的点（否则我怎么做出来的）：D、E未知，无法确定，我要D、E点的坐标！！！
再问： 原题就是没有D,E,F.三点都是动点所以我不会
再答： (2)当△ACP是直角三角形时，AP⊥CP，且|AC|等于P点到x轴距离的2倍。抛物线y=(x-n)(x+n-m-2)=[x-(m+2)/2]^2-(m+2)^2/4+n(m+2-n)，顶点必然在x轴下方，所以有 2[(m+2)^2/4-n(m+2-n)]=(m+2-n)-n，化简得：[(m+2)-2n][(m+2)-(2n+2)]=0 显然A、C不会是同一点，所以m+2-n>n，即(m+2)-2n>0，所以(m+2)-(2n+2)=0，得：m=2n 带回原方程有y=(x-n)(x-n-2)，点A(n+2,0)，点C(n,0)，点P(n+1,-1)。 假设命题成立，因为DE//x轴，所以点F为Rt△DEF的直角。令D、E的纵坐标均为y=b，则可求的两点的坐标分别为：D(n+1-√(b+1),b)，E(n+1+√(b+1),b)。 设点F坐标为(x0,y0)，因为DF⊥EF，所以有 (y0-b)/{x0-[n+1-√(b+1)]}*(y0-b)/{x0-[n+1+√(b+1)]}=-1，化简得(x0-n-1)^2+(y0-b)^2=b+1 又(x0,y0)满足y0=(x0-n)(x0-n-2)=[(x0-n-1)+1][(x0-n-1)-1]=(x0-n-1)^2-1 联立两式消去x0化简得：y0^2+(1-2b)y0+(b^2-b)=0，求得y0=b或b-1，舍去y0=b，故y0=b-1 所以，F到斜边DE的距离为b-(b-1)=1，这与P到斜边AC距离一样。 综合上述：命题是正确的！！
