已知函数f（x)=x²－alnx（a＞0） （1）当a=3时,求曲线y=f(x)在点（1,f(1))处的切线方

【绝对正确】
（Ⅰ）当a=3时,f（x）=x2-3lnx,
∴f'（x）=2x-3x（1分）
∴fˊ（1）=-1
又∵f（1）=1,
∴曲线y=f（x）在点（1,f（1））处的切线方程为y-1=-（x-1）．
即x+y-2=0．--------------------------------3分
（Ⅱ）（1）下面先证明：ea＞a（a≥0）．
设g（a）=ea-a（a≥0）,则g′（a）=ea-1≥e0-1=0（a≥0）,且仅当g′（a）=0⇔a=0,
所以g（a）在[0,+∞）上是增函数,故g（a）≥g（0）=1＞0．
所以ea-a＞0,即ea＞a（a≥0）．------------------------------5分
（2）因为f（x）=x2-a lnx,
所以f′（x）=2x-ax=2x2-ax=2(x-
2a2)(x+
2a2) x．
因为当0＜x＜2a2时,fˊ（x）＜0,当x＞2a2时,1,fˊ（x）＞0．
又a2＜a＜ea＜e2a（a≥0,a＜2a）⇒2a2＜ea,
所以f（x）在（0,2a2]上是减函数,在[2a2,+∞）是增函数．
所以f（x）min=f（2a2）=a2(1-ln
a2)．------------------------------9分
（3）下面讨论函数f（x）的零点情况．
①当a2(1-ln
a2)＞0,即0＜a＜2e时,函数f（x）在（1,ea）上无零点；
②当a2(1-ln
a2)=0,即a=2e时,2a2=e,则1＜2a2＜ea
而f（1）=1＞0,f（2a2）=0,f（ea）＞0,
∴f（x）在（1,ea）上有一个零点；
③当a2(1-ln
a2)＜0,即a＞2e时,ea＞2a2＞e＞1,
由于f（1）=1＞0,f（2a2）=a2(1-ln
a2)＜0．
f（ea）=e2a-a lnea=e2a-a2=（ea-a）（ea+a）＞0,
所以,函数f（x）在（1,ea）上有两个零点．（13分）
综上所述,f（x）在（1,ea）上有结论：
当0＜a＜2e时,函数f（x）有、无零点；
a=2e时,函数f（x）有一个零点；
当a＞2e时,函数f（x）有两个零点．------------------------------14分．