要使不等式根号x+根号y≤k根号(x+2y)对所有正数x,y都成立,求k的最小值

将原不等式两边同除以 √y 变换为 √(x/y)+1≤k√[(x/y)+2]
令 u=x/y>0,则 1+√u≤k√(u+2),∴ k≥(1+√u)/√(u+2)；
当 u=x/y→0﹢,k→1/√2；当 u→+∞,k→1；
令 k'={(1/√u)√(u+2)-(1+√u)[1/√(u+2)]}/(u+2)=0,即 (1/√u)√(u+2)-(1+√u)[1/√(u+2)]=0；
解得 u=4；
∴ k≥(1+√4)/√(4+2)=3/√6=√6/2；