一个正整数N加上1和加上2013,后均为完全平方数,求N的值

设所求的数为n,由题意,得：
n + 2013 = a^2……(1)
n + 1 = b^2……(2)
(1)式减去(2)式得
2012 = a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)
由于2012 = 4* 503 = 2 * 1006 ,只有两种分解方式,所以只有
i) a + b = 503,a - b = 4
或
ii) a + b = 1006,a - b = 2
这两种情况.
对情况i),a与b没有整数解,排除；
对情况ii),算出a = 504,b = 502,所以
n = 504^2 - 2013 = 502^2 - 1 = 252003；
综上,只有唯一解,即n = 252003.即为所求的数.