求极限x趋向0,（x-sinx)/[√(1+x^3))-1]中怎么去掉根号和详细步骤

1.这里用极限的乘法法则就行了.以下极限都是对x → 0:
易证lim√(1+x³) = 1,
故lim(1-cos(x))/(3x²/(2√(1+x³)))
= 2/3·lim(1-cos(x))/x²·lim√(1+x³)
= 2/3·lim(1-cos(x))/x²,
后面过程略.
另外,如果学过Taylor展开,这道题也可以使用以下两个常见Taylor展开:
sin(x) = x-x³/6+o(x³),√(1+y) = 1+y/2+o(y).
后者换元y = x³得到√(1+x³) = 1+x³/2+o(x³).
因此x-sin(x)与x³/6是等价无穷小,而√(1+x³)-1与x³/2是等价无穷小.
使用等价无穷小代换(本质上仍是极限乘法法则),即得:
lim(x-sin(x))/√(1+x³) = lim(x³/6)/(x³/2) = 1/3.
2.用的是乘积求导法则,以及变限积分求导.
为了看得清楚,设F(x) = ∫{1,x}f(t)dt,则Φ(x) = x·F(x).
Φ'(x) = (x·F(x))' = F(x)+x·F'(x).
由f(x)连续,有F'(x) = (∫{1,x}f(t)dt)' = f(x).
代回即得Φ'(x) = F(x)+x·f(x) = ∫{1,x}f(t)dt+x·f(x).
再问： 极限lim x趋向0 ln(1+x)*sin(1/x)= 这个不怎明白，能解答下
再答： 3. lim{x → 0} ln(1+x)sin(1/x) 不是未定形, 不适用洛必达法则. 直接用sin的有界性和夹逼定理来证明: ∵|sin(1/x)| ≤ 1, ∴-ln(1+x) ≤ ln(1+x)sin(1/x) ≤ ln(1+x), 又∵lim{x → 0} -ln(1+x) = lim{x → 0} ln(1+x) = 0, ∴lim{x → 0} ln(1+x)sin(1/x) = 0 (夹逼定理). 4. 一种方法是换元, 用基本的极限lim{y → 0} (1+y)^(1/y) = e. lim{x → 0} f(x) = lim{x → 0} (1-3x)^(1/x) = lim{y → 0} (1+y)^(-3/y) (换元y = -3x) = 1/(lim{y → 0}(1+y)^(1/y))³ (用到极限四则运算法则) = 1/e³. 由f(x)连续性, b-1 = f(0) = lim{x → 0} f(x) = 1/e³, 得b = 1+1/e³. 等效的, 可以化到指数上用基本极限lim{y → 0} ln(1+y)/y = 1. lim{x → 0} (1-3x)^(1/x) = lim{x → 0} e^(ln(1-3x)/x) = e^(lim{x → 0} ln(1-3x)/x) (用到e^x连续性) = e^(-3·lim{y → 0} ln(1+y)/y) (换元y = -3x) = e^(-3) = 1/e³. (当然, 对于指数中的极限lim{x → 0} ln(1-3x)/x也可以用洛必达法则计算).