123+2乘123+3乘123+.+123乘123的和除以7的余数是

123+2乘123+3乘123+.+123乘123
＝123+2×123+(3+123)×123+(4+122)×123+(5+121)×123+...+(62+64)×123+63×123
=3×123+(3+123)×123+(4+122)×123+(5+121)×123+...+(62+64)×123+63×123 （*）
（*）式中,(3+123)×123+(4+122)×123+(5+121)×123+...+(62+64)×123的每一项都是
126×123,而126=18×7能被7整除,所以(3+123)×123+(4+122)×123+(5+121)×123+...+(62+64)×123也能被7整除,又易知（*）式最后一项63×123＝9×7×123 能被7整除,则只须考虑（*）式第一项3×123被7整除的余数情况：
因为3×123＝369＝7×52.5
所以123+2乘123+3乘123+.+123乘123的和除以7的余数是5