1)
∫e^(-x^2) x^3 dx
u = x^2,du = 2 x dx:
= 1/2 ∫e^(-u) u du
∫f dg = f g- ∫g df
f = u,dg = e^(-u) du,
df = du,g = -e^(-u):
= 1/2 ∫e^(-u) du-(e^(-u) u)/2
∫e^(-u) is -e^(-u):
= -1/2 e^(-u) u-e^(-u)/2+c
u = x^2:
= -1/2 e^(-x^2) x^2-e^(-x^2)/2+c
= -1/2 e^(-x^2) (x^2+1)+c
2)
∫sin^(-1)(x)^2 dx
∫ f dg = f g- ∫g df
f = sin^(-1)(x)^2,dg = dx,
df = (2 sin^(-1)(x))/sqrt(1-x^2) dx,g = x:
= x sin^(-1)(x)^2-2 ∫(x sin^(-1)(x))/sqrt(1-x^2) dx
∫f dg = f g- ∫g df
f = sin^(-1)(x),dg = x/sqrt(1-x^2) dx,
df = 1/sqrt(1-x^2) dx,g = -sqrt(1-x^2):
= 2 sqrt(1-x^2) sin^(-1)(x)+x sin^(-1)(x)^2-2 ∫1 dx
= 2 sqrt(1-x^2) sin^(-1)(x)-2 x+x sin^(-1)(x)^2+c
3)
∫(e^x x)/(1+x)^2 dx
∫f dg = f g- ∫g df
f = e^x x,dg = 1/(x+1)^2 dx,
df = e^x (x+1) dx,g = -1/(x+1):
= ∫e^x dx-(e^x x)/(x+1)
= e^x-(e^x x)/(x+1)+c
= e^x/(x+1)+c
4) -1/2 ln(e^(-2 x)+1)-e^(-x) tan^(-1)(e^x)+C
5) 1/6 (-ln(x^2+x+1)+2 log(1-x)+2 sqrt(3) tan^(-1)((2 x+1)/sqrt(3)))+c
6) ln(x)-1/2 ln(x^2+1)+C
7) 1/4 (ln(1-x)-ln(x+1)-2 tan^(-1)(x))+c
8) (7-5 x)/(x-2)^2+ln(x-2)+C
9) 1/2 x (x+2)+1/3 tan^(-1)((x+1)/3)+C
10) x/(2 x^2+2)+x-3/2 tan^(-1)(x)+C
再问： 后几道能不能给个详细的步骤 ，一定重谢啊。
再答： 4. ∫(arctan(e^x))/e^x dx: e^x=u e^x*dx=du dx=du/(e^x)=du/u ∫(arctan(e^x))/e^x dx= ∫arctan(u)/u *(du/u)= ∫arctan(u)/u^2 du 分部积分，再替换，拆分就行了。过程自己写，不然训练目的达不到。 5. ∫x/(x^3-1) dx= ∫x/[(x-1)(x^2+x+1)] dx 拆分，一部分替换，之后都比较简单。 6.∫1/[x(x^2+1)] dx 先替换，再拆分 7. 1/(x^4-1)=1/[(x^2-1)(x^2+1)]=1/2(1/(x^2-1)-1/(x^2+1)) 8. 拆分成A/(x-2)+B/(x-2)^2+C/(x-2)^3 9.先做多项式除法，之后替换。 10.同上！
