为什么初等行变换不会改变矩阵的秩?比方说选取子式的时候恰好i行在...

你干脆问：为什么 a^n+b^n=c^n n>4 的时候没有非零正整数解? 比方说n=6的时候.
人家通过严格的逻辑推理证明的结论,你要问为什么应该去翻阅人家的整个证明过程.
秩是整个矩阵里 如果视为行向量,就是这几个行向量里最大的线性无关组的向量个数,线性无关与向量的顺序是无关的,所以交换行不会改变这个事实.列也是一样的,并且 行秩=列秩（这个证明我就略了,需要的话请追问）
u1,u2,...,un 线性无关的话 , 你用某一个vi = ui + kuj j不等于i 来代替 ui 后这n个向量仍然是线性无关的.对应的就是(非交换的)初等变换 保持 行（列）向量组 的线性无关性.
同理 可以证明,（非交换的)初等变换 保持 行（列）向量组 的 线性相关性.
所以显然,原本的极大无关组 不会因为 非交换的初等变换而在位置、长度上发生变化,所以秩是不变的.
前面又说明,交换 也是保持 秩不变的.所以所有的初等变换 都是保持秩不变的.