、矢量和标量
（1）在物理学中物理量有两种：一是矢量（既有大小,又有方向的物理量）,如力、位移、加速度等；
另一种是标量（只有大小,没有方向的物理量）,如体积、路程、功、能等.
（2）矢量的合成均遵循平行四边形法则,而标量的运算则用代数加减.
（3）一直线上的矢量合成,可先规定正方向,与正方向相同的矢量方向均为正,与之相反则为负,然后
进行加减.
2、力的合成
（1）一个力如果产生的效果与几个力共同作用所产生的效果相同,这个力就叫做那几个的合力,而那几
个力就叫做这个力的分力,求几个力的合力叫力的合成.
（2）力的合成遵循平行四边形法则,如求两个互成角度的共点力F1、F2的合力,可以把表示F1、F2的有
向线段作为邻边,作一平行四边形,它的对角线即表示合力的大小和方向.
（3）共点的两个力F1、F2的合力F的大小,与两者的夹角有关,两个分力同向时合力最大,反向时合力最
小,即合力的取值范围为|F1－F2|≤F≤|F1＋F2|
（4）合力可以大于等于两力中的任一个力,也可以小于任一个力.当两力大小一定时,合力随两力夹角
的增大而减小,随两力夹角的减小而增大.
3、力的分解
（1）由一个已知力求解它的分力叫力的分解.
（2）力的分解是力的合成的逆过程,也同样遵循平行四边形法则.
（3）由平行四边形法则可知,力的合成是惟一的,而力的分解则可能多解.但在处理实际问题时,力的
分解必须依据力的作用效果,答案同样是惟一的.
（4）把力沿着相互垂直的两个方向分解叫正交分解.如果物体受到多个力的共同作用时,一般常用正交
分解法,将各个力都分解到相互垂直的两个方向上,然后分别沿两个方向上求解.
1、力矢量三角形定则分析力最小的规律
（1）当已知合力F的大小、方向及一个分力F1的方向时,另一个分力F2的最小条件是：两个分力垂直,
如图（a）.最小的F2=Fsinα.
（2）当已知合力F的方向及一个分力F1的大小、方向时,另一个分力F2最小的条件是：所求分力F2与合
力F垂直,如图（b）.最小的F2=F1sinα.
（3）当已知合力F的大小及一个分力F1的大小时,另一个分力F2最小的条件是：已知大小的分力F1与合
力F同方向.最小的F2=|F－F1|.
习题讲
例1〕两个共点力的合力与分力的关系是 〔 〕
a．合力大小一定等于两个分力大小之和
b．合力大小一定大于两个分力大小之和
c．合力大小一定小于两个分力大小之和
d．合力大小一定大于一个分力的大小,小于另一个分力的大小
e．合力大小可能比两个分力的大小都大,可能都小,也可能比一个分力大,比另一个分力小
〔分析〕因为两个共点力合力的大小范围是
所以情况b不可能,情况a、c、d不一定．
〔答〕e．
〔例2〕大小为4n、7n和9n的三个共点力,它们的最大合力是多大?最小合力是多大?
〔误解〕当三个力同方向时,合力最大,此时,f合=20n.当4n、7n的两个力同向且与9n的力方向相反时,合力最小,此时f合=2n.
〔正确解答〕当三个力同方向时,合力最大,合力最大值为f=f1+f2+f3=20n.
由于这三个力中任意两个力的合力的最小值都小于第三个力,所以这三个力的合力的最小值为零.
〔错因分析与解题指导〕〔误解〕在求三个共点力最小合力时,由于思维定势的负作用,仍和求最大合力一样,把三个力限定在一直线上考虑,从而导致错误.
共点的两个力（f1,f2）的合力的取值范围是｜f1-f2｜≤f合≤f1+f2.若第三个共点力的大小在这一范围内,那么这三个力的合力可以为零.必须指出,矢量的正负号是用来表示矢量的方向的,比较两个矢量的大小应比较这两个矢量的绝对值,而不应比较这两个力的代数值.
〔例3〕在同一平面上的三个共点力,它们之间的夹角都是120°,大小分别为20n、30n、40n,求这三个力的合力．
〔分析〕求两个以上共点力的合力,可依次应用平行四边形法则．为此可先求出f1、f2的合力f′,再求f′与f3的合力（图1）．由于需计算f′与f2的夹角θ,显得较繁琐．
比较方便的方法可以先分解、后合成——把f2分成20n+10n两个力,f3分成20n+20n两个力．因为同一平面内互成120°角的等大小的三个共点力的合力等于零,于是原题就简化为沿f2方向一个10n的力（f′2）、沿f3方向一个20n的力（f′3）的合力（图2）．
〔解〕由以上先分解、后合成的方法得合力
〔说明〕根据同样道理,也可把原来三个力看成（30n—10n）、30n、（30n+10n）,于是原题就转化为一个沿f1反向10n的力与一个沿f3方向10n的力的合力．
〔例4〕在电线杆的两侧常用钢丝绳把它固定在地上（图1）．如果钢丝绳与地面的夹角∠a=∠b=60°,每条钢丝绳的拉力都是300n,求两根钢丝绳作用在电线杆上的合力．
〔分析〕由图可知,两根钢丝绳的拉力f1、f2之间成60°角,可根据平行四边形法则用作图法和计算法分别求出电线杆受到的合力．
〔解〕（1）作图法：自o点引两根有向线段oa和ob,相互间夹角α为60°,设每单位长为100n,则oa和ob的长度都是3个单位长度．作出平行四边形oacb,其对角线oc就代表两个拉力f1、f2的合力f．量得oc长为5.2个单位长度,所以合力
f=5.2×100n=520n
用量角器量得∠aoc=∠boc=30°,所以合力方向竖直向下（图2）．
（2）计算法：先画出力的平行四边形（图3）,由于oa=ob,得到的是一个菱形.连ab,两对角线互相垂直平分
因为在力的平行四边形中,各线段按照同一比例表示力的大小,所以合力
〔说明〕在计算法中,作出的平行四边形虽然是示意图,但有关力的方向及大小也应与已知情况相对应,这样可有助于求解．由于各线段按同一比例反映力的大小,因此画出的平行四边形的大小（如图4中oacb和oa′c′b′）并不影响计算结果．
〔例5〕两个共点力f1和f2的大小不变,它们的合力f跟f1、f2两力之间的夹角θ的关系如图1所示,则合力f大小的变化范围是多少?
〔分析〕由于图中显示合力f与两分力f1、f2之间夹角θ的图像对θ=π呈对称关系,因此只需根据其中一支图线列式讨论．
〔解〕由图线中左半支可知：
θ=π时,f1-f2=1, （1）
联立两式得
f1=4n,f2=3n．
根据合力大小的变化范围｜f1-f2｜≤f≤f1+f2,得合力变化范围为1～7n．
〔说明〕为了加深对图1的认识,可设想固定f1,使f2绕作用点o转动（图2）．可以看到,它们的合力必以θ=π为轴呈对称关系．
〔例6〕在一块长木板上放一铁块,当把长木板从水平位置绕一端缓缓抬起时（见图）,铁块所受的摩擦力 [ ]
a．随倾角θ的增大而减小
b．在开始滑动前,随θ角的增大而增大,滑动后,随θ角的增大而减小
c．在开始滑动前,随θ角的增大而减小,滑动后,随θ角的增大而增大
d．在开始滑动前保持不变,滑动后,随θ角的增大而减小
〔分析〕铁块开始滑动前,木板对铁块的摩擦力是静摩擦力,它的大小等于引起滑动趋势的外力,即重力沿板面向下的分力,其值为
f静=gsinθ
它随θ的增大而增大．
铁块滑动后,木板对铁块的摩擦力是滑动摩擦力．由于铁块与木板之间的正压力n=gcosθ,所以
f滑=μn=μgcosθ
它随着θ的增大而减小．
〔答〕b．
〔例7〕在图中灯重g=20n,ao与天花板间夹角α=30°,试求ao、bo两绳受到的拉力?
〔分析〕把co绳中的拉力f=g=20n沿ao、bo两方向分解,作出力的平行四边形．
〔解〕根据力的平行四边形定则（图示）,由几何关系得
〔例8〕在图中小球重g=100n,细绳与墙面间夹角α=30°,求小球对细绳的拉力和对墙面的压力分别等于多少?
〔分析〕把小球重力沿细绳方向和垂直墙面方向分解,作出力的平行四边形.
〔解〕根据力的平行四边形定则（见图）,由几何关系得
所以小球对细绳的拉力f和对墙壁的压力n分别为：
f=g1=115.3n,n=g2=57.7n
〔说明〕由例1与例2可知,力分解问题的关键是根据作用效果,画出力的平行四边形,接着就转化为一个根据已知边角关系求解的几何问题．因此其解题基本思路可表示为：
〔例9〕绳子ab能承受的最大拉力为100n,用它悬挂一个重50n的物体．现在其中点o施加一水平力f缓慢向右拉动（如图1所示）,当绳子断裂时ao段与竖直方向间夹角多大?此时水平力f的大小为多少?
〔分析〕用水平力缓缓移动o点时,下半段绳子可以认为始终呈竖直状态,ob绳中的弹力t2恒等于物重．上半段绳子ao倾斜后,由画出的力平行四边形（图2）知,ao绳中弹力t1的大小应等于f与t2的合力r,其最大值为100n．
〔解〕设ao绳中弹力t1=tm=100n时,ao绳与竖直方向间夹角为θ．由画出的力平行四边形知：
∴θ=60°
此时的水平力大小为：
f=rsinθ=tmsinθ
=100sin60°n=86.6n
〔说明〕由于上半段绳子ao中的弹力仅跟它对竖直方向间的夹角和悬挂物重g有关,跟ao段（或bo段）绳长无关,因此,当施力点在中点上方或下方时,并不会影响使绳子断裂时对竖直方向的夹角,相应的水平拉力f的大小也不变．
〔例10〕两个大人与一个小孩沿河岸拉一条船前进,两个大人的拉力分别为f1=400n,f2=320n,它们的方向如图1所示．要使船在河流中平行河岸行驶,求小孩对船施加的最小力的大小和方向．
〔分析〕为了使船沿河中央航线行驶,必须使两个大人和一个小孩对船的三个拉力的合力沿河中央方向．
〔解〕方法（1）：设两个大人对船拉力的合力f′跟f1的夹角
因此合力f′与河流中央方向oe间的夹角为：
δ=90°-30°-ρ≈21°
要求合力f沿oe线且f3最小,f3必须垂直oe,其大小为：
f3=f′sinδ≈512sin21°n≈186n
方法（2）：为了使船沿中央航线行驶,必须使得船在垂直于中央航线方向上的合力等于零．因此,小孩拉力的垂直分量必须与两个大人拉力的垂直分量平衡,即
f3y=f1y-f2y=f1sin60°-f2sin30°
要求小孩的拉力最小,应使小孩的拉力就在垂直oe的方向上,所以
f3=f3y=186n
