计算i+2i^2+3i^3+...+2010i^2010=

令
x=i+2i^2+3i^3+...+2010i^2010
则 x*i=i^2+2i^3+3i^4+...+2010i^2011
则两式相减,有
x-x*i=i+i^2+i^3+...+i^2010-2010i^2011 .(1)
而 i+i^2+i^3+i^4=i-1-i+1=0
2010=4*502+2
且i^4=1
所以 (1)每连续4项的和=0,有：
x-xi=i^2009+i^2010-2010i^2011
=i+i^2-2010i^3
x=(i-1+2010i)/(1-i)
=(2011i-1)(1+i)/2
=1005i-1006
即原式=1005i-1006