在正三棱锥P-abc 中,ab=4,pa=8,过过A作于PB PC分别交于D和E的截面,则截面三角形ade的周长最小值是

 沿PA把侧面剪开,铺成平面,形成三个等腰△PAB、PBC、PCA',连结AA',分别交PB、PC于D、E,此时PD、DE、EA'构成△ADE周长最小,因为它们是直线连结.在△PAB中,根据余弦定理,cos<APB=(PA^2+PB^2-AB^2)/(2*PA*PB)=7/8,∵<APB=<BPC=<CPA',∴<APA'=3<APB,根据三倍角公式,（可用和角公式推导）,cos3θ=4(cosθ)^3-3cosθ,cos<APA'=4*(7/8）^3-3*7/8=7/128,在△APA'中,根据余弦定理,AA'^2=PA^2+PA'^2-2PA*PA'cos<APA',AA'=11,∴截面三角形ADE的周长最小值为11.  附：三倍角余弦公式证明：cos2θ=2(cosθ)^2-1,cos3θ=cos(2θ+θ)=cos2θcosθ-sin2θsinθ=[2(cosθ)^2-1]cosθ-2sinθcosθ*sinθ=2(cosθ)^3-cosθ-2cosθ[1-(cosθ)^2]=4(cosθ)^3-3cosθ.