三角形ABC中∠C=90°,D点是AB中点,D,E分别为AC,BC边上的点,且ED⊥DF,求证：AE²＋BF&

证明：延长ED到G,使DG=DE,连接EF、FG、CG,如下图所示：
∵DF=DF,∠EDF=∠FDG=90°,DG=DE
∴△EDF≌△GDF
∴EF=FG
又∵D为斜边BC中点
∴BD=DC
又∵∠BDE=∠CDG,DE=DG
∴△BDE≌△CDG
∴BE=CG,∠B=∠BCG
∴AB‖CG
∴∠GCA=180°-∠A=180°-90°=90°
在Rt△FCG中,由勾股定理得：
FG2=CF2+CG2=CF2+BE2
∴EF2=FG2=BE2+CF2．