设常数a＞0，(ax-1x)5展开式中x3的系数为-581，则a= --- ，limn→∞(a+a2+…+an)= --

（1）由Tr+1=c₅^r（ax）^5-r（-
1
x）^r，整理得Tr+1=（-1）^rc₅^ra^5-rx^5-2r，
r=1时，即（-1）c₅¹a⁴=-
5
81，∴a=
1
3．故答案为
1
3
（2）方法1：令s_n=a+a²+…+aⁿ=
a×(1-an)
1-a，
∴
lim
n→∞（a+a²+…+aⁿ）=
lim
n→∞
a×(1-an)
1-a=
a
1-a（∵a＜1时，
lim
n→∞aⁿ=0）
=

1
3
1-
1
3=
1
2．
故答案为
1
2．
方法2：由a=
1
3，可知数列a，a²…aⁿ是递降等比数列，
则
lim
n→∞（a+a²+…+aⁿ）表示无穷递降等比数列的各项和，
由无穷递降等比数列的各项和公式（
lim
n→∞s_n=
a1
1-q），
可知
lim
n→∞（a+a²+…+aⁿ）=
a
1-a═

1
3
1-
1
3=
1
2．
故答案为
1
2．