初一数学知识点梳理

第一章  有理数总复习一、知识归纳：1、数轴是一条规定了原点、方向、长度单位的直线.有了数轴,任何一个有理数都可以用它上面的一个确定的点来表示.在数的研究上它起着重要的作用.它使数和最简单的图形——直线上的点建立了对应关系,它揭示了数和形之间的内在关系,因此它是数形结合的基础.但要注意数轴上的所有点并不是都有有理数和它对应.借助于数轴上点的位置关系可以比较有理数的大小,法则是：在数轴上表示的两个有理数,右边的数总比左边的数大.2、相反数是指只有符号不同的两个数.零的相反数是零.互为相反的两个数位于数轴上原点的两边,离开原点的距离相等.有了相反数的概念后,有理数的减法运算就可以转化为加法运算.3、绝对值：在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值.显然有：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零.对于任何有理数a,都有 ≥0.4、倒数可以这样理解:如果a与b是非零的有理数,并且有a×b=1,我们就说a与b互为倒数.有了倒数的概念后,有理数的除法运算就可以转化为乘法运算.5、有理数的大小比较：（1）正数都大于零,负数都小于零,即负数＜零＜正数；（2）两个正数,绝对值大的数较大；（3）两个负数,绝对值大的数反而小；（4）在数轴上表示的有理数,右边的数总比左边的大；6、科学记数法：是指任何数记成a×10n的形式,其中用式子表示|a|的范围是0＜|a|＜10.7、近似数与有效数字：近似数：一个与实际数很接近的数,称为近似数；有效数字：从左边第一个不为0的数字起,到精确到的数位止,这些数字都是这个数的有效数字.（1）有效数字越多,近似数就越精确；（2）由四舍五入得到的近似数0.003206,左边第一个不是零的数是3,最后一位四舍五入所得到的数是6,从3到6中间的所有的数字是3、2、0、6,左边的三个不算,但2和6之间的0要算,这个近似数有4个有效数字.二、有理数的运算法则1、有理数的加法法则：同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加；异号两数相加,绝对值相等时和为0；绝对值不等时,取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0相加,仍得这个数.由此可得,互为相反数的两数相加的0；三个数相加先把前两个数相加,或先把后两个数相加,和不变.2、有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数.注意：一切加法和减法运算都可以统一成加法运算.3、有理数的乘法法则：两数相乘,同号得正,异号得负,绝对值相乘.任何数同零相乘都得零.4、有理数的除法法则：两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除.零除以任何一个不为零的数都得零.5、有理数混合运算的顺序：有理数混合运算中,先算乘方,再算乘除,最后算加减.运算中,如果有括号,就先算括号里面的.、6、有理数的运算律：交换律：a＋b=b＋a ,   ab=ba.结合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c) ,  (ab)c=a(bc).乘法对加法的分配律：a(b＋c)=ab＋ac.三、值得注意的几个问题1、数的范围扩大到有理数后,一定要注意考虑负数.如不能认为“最小的整数是零”.2、有理数都可以用数轴上的点表示；但数轴上的点不都表示有理数.3、单独的一个数或字母,省略的指数是“1”,而不是零.4、对负数或分数进行乘方运算要注意加括号.如当 时, ；而不是 .5、有理数的运算要特别注意符号.第二章   整式的加减一、\x09知识梳理1、______和______统称整式. ①单项式：由       与        的乘积式子称为单项式.单独一个数或一个字母也是单项式,如a ,5.•单项式的系数：单式项里的                  叫做单项式的系数.•单项式的次数：单项式中                             叫做单项式的次数.  ②多项式:几个            的和叫做多项式.其中,每个单项式叫做多项式的     ,不含字母的项叫做           .•多项式的次数：多项式里                  的次数,叫做多项式的次数.•多项式的命：一个多项式含有几项,就叫几项式.所以我们就根据多项式的项数和次数来命名一个多项式.如：3n4－2n2＋1是一个四次三项式.2、同类项——必须同时具备的两个条件（缺一不可）：①所含的         相同；②相同                       也相同.•合并同类项,就是把多项式中的同类项合并成一项.方      法：把各项的        相加,而           不变.3、去括号法则法则1.括号前面是“+”号,把括号和它前面的“+”号去掉,括号里各项都        符号；法则2.括号前面是“-”号,把括号和它前面的“-”号去掉,括号里各项都        符号.　　  ▲去括号法则的依据实际是                  .〖注意1〗要注意括号前面的符号,它是去括号后括号内各项是否变号的依据.〖注意2〗去括号时应将括号前的符号连同括号一起去掉.〖注意3〗括号前面是“-”时,去掉括号后,括号内的各项均要改变符号,不能只改变括号内第一项或前几项的符号,而忘记改变其余的符号. 若括号前是数字因数时,可运用乘法分配律先将数与括号内的各项分别相乘再去括号,以免发生错误.〖注意4〗遇到多层括号一般由里到外,逐层去括号,也可由外到里.数“-”的个数.4、整式的加减   整式的加减的过程就是          .如遇到括号,则先          ,再           ,合并到                为止.5、本单元需要注意的几个问题①整式（既单项式和多项式）中,分母一律不能含有字母.②π不是字母,而是一个数字,③多项式相加（减）时,必须用括号把多项式括起来,才能进行计算.④去括号时,要特别注意括号前面的因数. 第三章 一元一次方程一、\x09知识梳理1．方程　　（1）方程的定义：含有未知数的等式叫做方程.　　（2）方程的能够使方程左、右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解.　　（3）解方程：求方程解的过程叫做解方程.2．一元一次方程：　　只含有一个未知数,并且未知数的次数是1,这样的方程叫做一元一次方程.3．解一元一次方程的步骤：　　①去分母,在方程的两边都乘以各分母的最小公倍数,注意不要漏乘不含分母的项,分子为多项式的要加上括号；　　②去括号,一般先去小括号,再去中括号,最后去大括号,注意不要漏乘括号里的项,当括号前是“-”时,去掉括号时注意括号内的项都要变号；　　③移项,将含有未知数的项移到方程的一边,不含未知数的项移到方程的另一边,注意移项要变号,移项和交换位置不同；　　④合并同类项,将同类项合并成一项,把方程化为ax=b（a≠0） 的形式,注意只合并同类项的系数；　　⑤系数化为1,在方程ax=b的两边都除以a,求出方程的解x=  ,注意符号,不要把方程ax=b的解写成x= .4．列方程解应用题的步骤：　　（1）读题找相等关系：认真读题,理解题意,分清已知与未知,找出相等关系.　　（2）设出适当的未知数：根据问题的实际情况,设未知数可以直接设未知数,也可以间接设未知数.　　（3）列方程：根据问题中的一个相等关系列出方程.　　（4）解方程：解所列的方程,求出未知数的值.　　（5）写出所求解的答案：求到方程的解,要检验它是否符合实际意义,如果符合实际意义,要写出完整的答案.5．实际问题的常见类型　　(1)利息问题:①相关公式:本金×利率×期数=利息(未扣税);②相等关系:本息=本金+利息.　　(2)利润问题:①相关公式:利润率=利润÷进价;②相等关系:利润=售价-进价.　　(3)等积变形问题:①相关公式:长方体的体积=长×宽×高;圆柱的体积=底面积×高.　　②相等关系:变形前的体积=变形后的体积.　　(4)工程问题　　①数量关系:工作量=工作时间×工作效率.②相等关系:总工作量=各部分工作量的和.(5)行程问题:①相关数量关系:路程=时间×速度;②相等关系: (相遇问题)两者路程和=总路程;(追及问题)两者路程差=相距路程.二、思想方法总结　　1．方程的思想：方程的思想就是把末知数看成已知数,让代替未知数的字母和已知数一样参与运算,这是一种很重要的数学思想,很多问题都能归结为方程来处理.　　2、数形结合的思想：数形结合的思想是指在研究问题的过程中,由数思形,由形思数,把数和形结合起来分析问题的思想方法.本章在列方程解应用题时常采用画图,列表格的方法展示数量关系.使问题更形象、直观.3、“化归思想”：所谓化归思想,是指在如解数学问题时,如果对当前的问题感到困惑,可把它先进行交换,使之筒化,并得到解决的思维方法.如本章解方程的过程,就是把形式比较复杂的方程,逐步化简为最简方程ax=b(a=0),从而求出方程的解,通过对解一元一次方程的学习要体会并掌据化归这一数学思想方法.三、易错点突破1、应用等式的基本性质时出现错误　　例1　下列说法正确的是（　　）　　A、在等式ab=ac中,两边都除以a,可得b=c　　B、在等式a=b两边都除以c2+1可得 　　C、在等式 两边都除以a,可得b=c　　D、在等式2x=2a一b两边都除以2,可得x=a一b　　剖析：A中a代表任意数,当a≠0时结论成立；但当a=0时,不能运用等式的性质（2）结论不一定成立,如0•3=0•（－1）但3≠－1,所以,等式两边同时除以一个数,要保证除数不为0才能行.B中c2+1≠0所以成立C用的性质错误,应在等式两边都乘以a,D中一b这一项没除以2,应为x=a－ 选B2、去分母去括号时出现漏乘现象或出现符号错误；移项不变号,错把解方程的过程写成“连等”的形式.　　例2　解方程 .　　错 =3x-2+10=x+6=2x=－2=x=－1　　剖析：错解的原因是对方程的变形理解不深,受到代数式运算时使用连等式的习惯影响.　　正去分母得3x-2+10=x+6移项合并同类项得2x=－2,所以x=－13、列方程解应用题时常出现的错误　　（1）审题不清,没有弄请各个量所表示的意义；　　（2）列方程出现错误　　（3）应用公式错误　　（3）单住不统一　　（4）计算方法出现错误.第四章 图形认识初步一、\x09知识梳理二、重点、难点：　　立体图形与平面图形的互相转化,及一些重要的概念、性质等是本章的重点.　　建立和发展空间观念是空间与图形学习的核心目标之一,能由实物形状想象出几何图形,由几何图形想象出实物形状,进行几何体与其三视图、展开图之间的相互转化是培养空间观念的重要方面.另外,对图形的表示方法,对几何语言的认识与运用,都要有一个熟悉的过程.等等这些,对于今后的学习都很重要,同时也是本章的难点.三、知识要点：　　本章的主要内容是图形的初步认识,从生活周围熟悉的物体入手,对物体的形状的认识从感性逐步上升到抽象的几何图形.通过从不同方向看立体图形和展开立体图形,初步认识立体图形与平面图形的联系.在此基础上,认识一些简单的平面图形——直线、射线、线段和角. 　　1.多姿多彩的图形：通过多姿多彩的图形引入几何图形,使我们认识立体图形、平面图形,通过三视图我们可以把立体图形转化为平面图形来研究和处理,也可以把立体图形展开为平面图形；几何体也简称为体,包围体的是面,面面相交为线,线线相交为点；点动成线,线动成面,面动成体,几何图形都是由点、线、面、体组成的,点是构成图形的基本元素.如广场礼花在夜空中留下的图形,你是否看到了点动成线?在电视中看到收割机在麦田中收割小麦,你是否看到了线动成面?　　2.直线、射线、线段的区别与联系：从图形上看,直线、射线可以看做是线段向两边或一边无限延伸得到的,或者也可以看做射线、线段是直线的一部分；线段有两个端点,射线有一个端点,直线没有端点；线段可以度量,直线、射线不能度量.　　3.直线、线段性质： 　　经过两点有一条直线,并且只有一条直线；或者说两点确定一条直线； 　　两点的所有连线中,线段最短；简单说：两点之间,线段最短. 　　4.线段中点：把一条线段分成两条相等的线段的点叫线段中点,如图： 　　  　　若点C是线段AB的中点,则有（1）AC=BC= AB 或（2）AB=2AC=2BC,反之,若有（1）式或（2）式成立,亦能说明点C是线段AB的中点. 　　5.关于线段的计算：两条线段长度相等,这两条线段称为相等的线段,记作AB=CD,平面几何中线段的计算结果仍为一条线段.即使不知线段具体的长度也可以作计算.　　例：如图：AB+BC=AC,或说：AC-AB=BC  　　6.角的意义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角,公共端点是角的顶点,这两条射线是角的两条边,角也可以看做由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.　　7.角的度量：1°=60′　 1′=60″ 　1周角=360°　1平角=180° 　1直角=90°　　8.角的大小的比较：（1）叠合法,使两个角的顶点及一边重合,另一边在重合边的同旁进行比较；（2）度量法. 　　9.角的平分线：从一个角的顶点出发,把这个角分成相等的两个角的射线,叫做这个角的平分线.如图：OC平分∠AOB,则（1）∠AOC=∠BOC= ∠AOB或（2）2∠AOC =2∠BOC =∠AOB.　　  　　10.有关角的运算：　　举例说明：如图,∠AOC+∠BOC=∠AOB,∠AOB-∠AOC=∠BOC　　  　　特殊情况,如果两个角的和等于直角,就说这两个角互为余角,即其中一个是另一个的余角；如果两个角的和等于平角,就说这两个角互为补角,即其中一个是另一个的补角；等角的余角相等,等角的补角相等.