如图,在三角形ABC中,AD是边BC上的中线,点M在AB边上,点N在AC边上,并且角MDN=90度,如果BM^2+CN^

证明：如图,过点B作AC的平行线交ND的延长线于E,连ME．
∵BD=DC,
∴ED=DN．
在△BED与△CND中,
∵
BD=DC
∠BDE=∠CDN
ED=DN
∴△BED≌△CND（SAS）．
∴BE=NC．
∵∠MDN=90°,
∴MD为EN的中垂线．
∴EM=MN．
∴BM2+BE2=BM2+NC2=MD2+DN2=MN2=EM2,
∴△BEM为直角三角形,∠MBE=90°．
∴∠ABC+∠ACB=∠ABC+∠EBC=90°．
∴∠BAC=90°．
∴AD2=(
1
2
BC)2=
1
4
（AB2+AC2）．