在小于10000的正整数中,各位数字相加之和等于8的整数有多少个?离散数学中排列组合问题

一位数字显然只有1个,就是8
其它情况可以这样考虑：
从左到右将8个小球排成一行,在最八个小球的最右边及相邻两个小球之间一共8个位置,插入一个挡板,比如挡板插在第二、三个小球之间,挡板左右两边各有2、6个小球,对应两位数26,其它类似,有C(8,1)＝8种插法,故有C(8,1)＝8个两位数
类似地,三位数就是在这八个小球的上述八个位置中插入两块挡板,两块挡板插在不同位置有C(8,2)＝28种方法,两块挡板插在同一位置有C(8,1)＝8种方法,故有C(8,2)＋C(8,1)＝36个三位数
四位数就是在上述八个位置中插入三块挡板,三块挡板插在三个不同位置有C(8,3)＝56种方法,三块挡板插在两个不同位置有2C(8,2)＝56种方法(比如三块挡板在1、2及5、6之间,可能代表1043,即1、2之间插入两块挡板,也可能代表1403,也即是在5、6之间插入两块挡板),三块挡板插在同一位置有C(8,1)＝8种方法,从而有C(8,3)＋2C(8,2)＋C(8,1)＝120个四位数
综上所述,共有1＋8＋36＋120＝165个满足条件的整数