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勾股定理·典型例题
能力素质
例1 如图3.16－1,已知：∠ABD＝∠C＝90°,AC＝BC,∠DAB＝30°,AD＝8,求BC的长．
解析 先在Rt△ABD中,求出AB,继而在Rt△ACB中求出BC．
解 Rt△ABD中,
∵∠ABD＝90°,∠DAB＝30°,
由勾股定理知：
AB2＝AD2－BD2＝82－42＝48．
在△ABC中,∠C＝90°,AC＝BC．
∵AC2＋BC2＝AB2,
∴2BC2＝48,
∴BC2＝24,
例2 直角三角形斜边长为2,两直角边和为6,求此直角三角形面积．
解 设直角边为a、b,
∴a2＋b2＝4．
点击思维
例3 如图3.16－2,沿AE折叠长方形,使D落在BC边上的点F处,已知： AB＝8cm,BC＝10cm,求EC的长．
解析 因△ADE与△AFE重合,所以△ADE≌△AFE,于是AF＝AD＝BC＝10cm,EF＝DE．
可求得BF、FC的长．
由EF＋EC＝DC,
可利用EF2＝EC2＋FC2,
列方程求解．
解 由题意知：△ADE≌△AFE,
∴AF＝AD＝BC＝10cm, EF＝DE．
∴BF2＝AF2－AB2＝102－82＝62
∴BF＝6(cm)．
∴FC＝BC－BF＝10－6＝4(cm)．
设EC＝xcm,则EF＝(8－x)cm．
在△EFC中,∠C＝90°,
∴FC2＋EC2＝EF2．
∴42＋x2＝(8－x)2．
∴x＝3cm．
即EC＝3(cm)．
点评 当已知直角三角形关于边长的两个条件时,可利用勾股定理列方程求解．
例4 已知直角三角形的两边长为3、4,求另一边长．
解析 两边长为3、4,分两类
(1)3、4是直角边长；
(2)4是斜边长．
例5 如图3.16－3,已知：∠B＝∠D＝90°,∠A＝60°,AB＝4,CD＝2,求四边形ABCD的面积．
解 延长AD、BC交于E．
∵∠A＝60°,∠B＝90°,
∴∠E＝30°．
∴AE＝2AB＝8,CE＝2CD＝4,
∴BE2＝AE2－AB2＝82－42＝48．
DE2＝CE2－CD2＝42－22＝12．
∴S四边形ABCD＝S△ABE－S△CDE
点评 不规则图形的面积,可转化为特殊图形求解,本题通过将图形转化为直角三角形的方法,把四边形面积转化为两个三角形面积之差．
学科渗透
例6 如图3.16－4中,已知△ABC中,AB＝AC,D为BC上的任一点．求证：AD2＋BD·DC＝AB2．
解析 证明线段的平方问题,应充分运用勾股定理和代数公式,因此需要构造直角三角形,故作BC边上的高AE．
证明 过A点作AE⊥BC于E．
∵AB＝AC,
∴BE＝EC．
又∵AE⊥BC,
∴AB2＝AE2＋BE2,
AD2＝AE2＋ED2．
∴AB2－AD2＝BE2－ED2
＝(BE＋ED)(BE－ED)(平方差公式)
＝(EC＋ED)(BE－ED)
＝CD·BD．
∴AD2＋BD·DC＝AB2．
变式 若D在BC的延长线上,求证：AB2＋BD·DC＝AD2．(同学们自行练习)
解 如图3.16－5：
