已知复数Z满足:|Z|=1且Z≠正负i,求证:Z/(1+Z²)是实数.

已知|Z|=1且Z≠正负i,
即：Z的模是1,辐角θ满足cosθ≠ 0
那么不妨设Z=cosθ+isinθ
带入可得：Z/(1+Z²)
的分母1+Z²=1+(cosθ+isinθ)^2
=1+cosθ^2-sinθ^2+2isinθcosθ
=2cosθ^2 + 2isinθcosθ
=2cosθ(cosθ+isinθ)
而分子Z=cosθ+isinθ
约分即可得到：
Z/(1+Z²)=1/2cosθ