问题描述：
[0,2π]上(e的sint次方) · sint · dt的定积分,判断它的正负,
问题解答：
我来补答
(e^sint)(sint) = 0 => t = 0、π、2π
∫[0→2π] (e^sint)(sint) dt
= ∫[0→π] (e^sint)(sint) dt + ∫[π→2π] (e^sint)(sint) dt
= A + B
B = ∫[π→2π] (e^sint)(sint) dt
令u = t - π、dt = du
B = ∫[0→π] [e^sin(u + π)][sin(u + π) du
= ∫[0→π] [e^(- sinu)][- sinu] du
= - ∫[0→π] (sint)e^(- sint) dt
∴A + B
= ∫[0→π] (e^sint)(sint) dt - ∫[0→π] (sint)e^(- sint) dt
= ∫[0→π] (sint)[e^sint - e^(- sint)] dt
在t∈[0,π]上、sint ≥ 0
亦sint ≥ - sint
e^sint ≥ e^(- sint)
即(sint)[e^sint - e^(- sint)] ≥ 0
所以∫[0→2π] (e^sint)(sint) dt > 0
