问题描述：
高斯完整三角和疑惑
最近在看潘承洞写的解析数论,由于完全是自学,发现一些符号跟现在学的也不一样比如说高斯完整三角和公式,书中是这样写的,如下图
,推断e（x）应该是不是高数上写的e（2πix）,但是有好像与（b）的结论不一致,现在搞不清题中的e（x）是这么个函数?希望能证明,
最近在看潘承洞写的解析数论,由于完全是自学,发现一些符号跟现在学的也不一样比如说高斯完整三角和公式,书中是这样写的,如下图
,推断e（x）应该是不是高数上写的e（2πix）,但是有好像与（b）的结论不一致,现在搞不清题中的e（x）是这么个函数?希望能证明,
问题解答：
我来补答
如果手头有书的话不妨找找符号说明,我这的电子版没有那页.
个人推测就是e(x) = e^(2πix),这样才能保证Fourier变换与逆变换的形式.
而之所以不是e(x) = e^(-2πix) 是为了使(a)能成立,此时e(1/4) = i.
但(b)的结论需要改为(1+i^(-N))/(1+i^(-1))·√N = (1+i^(-N))(1+i)/2·√N.
(a)对f(x) = e(x²/N)使用有限形式的Poisson求和公式.
得∑{0 ≤ n < N} f(n) = ∑{m为整数} ∫{0,N} f(x)·e(-mx)dx (注意f(0) = f(N)).
换元x = Nt,则∫{0,N} f(x)·e(-mx)dx = N·∫{0,1} f(Nt)·e(-mNt)dt = N·∫{0,1} e(N(t²-mt))dt.
换元t = s+m/2,有N·∫{0,1} e(N(t²-mt))dt = Ne(-Nm²/4)·∫{-m/2,-m/2+1} e(Ns²)ds
当m为偶数,e(-Nm²/4) = 1,故∑{m为偶数} ∫{0,N} f(x)·e(-mx)dx = N·∫{-∞,+∞} e(Ns²)ds.
当m为奇数,e(-Nm²/4) = i^(-N),故∑{m为奇数} ∫{0,N} f(x)·e(-mx)dx = N·i^(-N)·∫{-∞,+∞} e(Ns²)ds.
于是S(N) = ∑{0 ≤ n < N} f(n) = (1+i^(-N))N·∫{-∞,+∞} e(Ns²)ds.
(b)换元s = u/√N得S(N) = (1+i^(-N))√N·∫{-∞,+∞} e(u²)du = (1+i^(-N))(1+i)/2·√N.
再问：
这是书中截得一个图，感觉（b）应该是对的，但是与e（x）=e（2πix)矛盾，你留个邮箱吧，我吧我那本书分给你看看
再答： 电子版我也有, 上面的式子和原题我都看到了, 但是我还是宁愿相信是印错了. 我对e(x) = e^(2πix)的信心来源于几方面. 首先是这能保证e(n/N)是mod N剩余类群到复数乘法群的群同态. 其次是这与书上的Fourier变换和逆变换的形式相容. 再次与书上三十五章的Dedekind η函数的定义也与一般意义一致. 此外与《数论导引》中Gauss和的定义相容. 我没有细看过这本书, 如果仔细找应该还有很多证据. 当然我觉得直接找到原书的符号说明最能说明问题, 可惜我找的电子版都没有. 如果承认e(x) = e^(2πix), 那么结论(b)明显是有问题的. 举个例子验证一下就知道了.
个人推测就是e(x) = e^(2πix),这样才能保证Fourier变换与逆变换的形式.
而之所以不是e(x) = e^(-2πix) 是为了使(a)能成立,此时e(1/4) = i.
但(b)的结论需要改为(1+i^(-N))/(1+i^(-1))·√N = (1+i^(-N))(1+i)/2·√N.
(a)对f(x) = e(x²/N)使用有限形式的Poisson求和公式.
得∑{0 ≤ n < N} f(n) = ∑{m为整数} ∫{0,N} f(x)·e(-mx)dx (注意f(0) = f(N)).
换元x = Nt,则∫{0,N} f(x)·e(-mx)dx = N·∫{0,1} f(Nt)·e(-mNt)dt = N·∫{0,1} e(N(t²-mt))dt.
换元t = s+m/2,有N·∫{0,1} e(N(t²-mt))dt = Ne(-Nm²/4)·∫{-m/2,-m/2+1} e(Ns²)ds
当m为偶数,e(-Nm²/4) = 1,故∑{m为偶数} ∫{0,N} f(x)·e(-mx)dx = N·∫{-∞,+∞} e(Ns²)ds.
当m为奇数,e(-Nm²/4) = i^(-N),故∑{m为奇数} ∫{0,N} f(x)·e(-mx)dx = N·i^(-N)·∫{-∞,+∞} e(Ns²)ds.
于是S(N) = ∑{0 ≤ n < N} f(n) = (1+i^(-N))N·∫{-∞,+∞} e(Ns²)ds.
(b)换元s = u/√N得S(N) = (1+i^(-N))√N·∫{-∞,+∞} e(u²)du = (1+i^(-N))(1+i)/2·√N.
再问：
这是书中截得一个图，感觉（b）应该是对的，但是与e（x）=e（2πix)矛盾，你留个邮箱吧，我吧我那本书分给你看看再答： 电子版我也有, 上面的式子和原题我都看到了, 但是我还是宁愿相信是印错了. 我对e(x) = e^(2πix)的信心来源于几方面. 首先是这能保证e(n/N)是mod N剩余类群到复数乘法群的群同态. 其次是这与书上的Fourier变换和逆变换的形式相容. 再次与书上三十五章的Dedekind η函数的定义也与一般意义一致. 此外与《数论导引》中Gauss和的定义相容. 我没有细看过这本书, 如果仔细找应该还有很多证据. 当然我觉得直接找到原书的符号说明最能说明问题, 可惜我找的电子版都没有. 如果承认e(x) = e^(2πix), 那么结论(b)明显是有问题的. 举个例子验证一下就知道了.
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