第一次危机发生在公元前580～568年之间的古希腊,数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派.这个学派集宗教、科学和哲学于一体,该学派人数固定,知识保密,所有发明创造都归于学派领袖.当时人们对有理数的认识还很有限,对于无理数的概念更是一无所知,毕达哥拉斯学派所说的数,原来是指整数,他们不把分数看成一种数,而仅看作两个整数之比,他们错误地认为,宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比.该学派的成员希伯索斯根据勾股定理（西方称为毕达哥拉斯定理）通过逻辑推理发现,边长为l的正方形的对角线长度既不是整数,也不是整数的比所能表示.希伯索斯的发现被认为是“荒谬”和违反常识的事.它不仅严重地违背了毕达哥拉斯学派的信条,也冲击了当时希腊人的传统见解.使当时希腊数学家们深感不安,相传希伯索斯因这一发现被投入海中淹死,这就是第一次数学危机.这场危机通过在几何学中引进不可通约量概念而得到解决.两个几何线段,如果存在一个第三线段能同时量尽它们,就称这两个线段是可通约的,否则称为不可通约的.正方形的一边与对角线,就不存在能同时量尽它们的第三线段,因此它们是不可通约的.很显然,只要承认不可通约量的存在使几何量不再受整数的限制,所谓的数学危机也就不复存在了.不可通约量的研究开始于公元前4世纪的欧多克斯,其成果被欧几里得所吸收,部分被收人他的《几何原本》中.第二次数学危机发生在十七世纪.十七世纪微积分诞生后,由于推敲微积分的理论基础问题,数学界出现混乱局面,即第二次数学危机.微积分的形成给数学界带来革命性变化,在各个科学领域得到广泛应用,但微积分在理论上存在矛盾的地方.无穷小量是微积分的基础概念之一.微积分的主要创始人牛顿在一些典型的推导过程中,第一步用了无穷小量作分母进行除法,当然无穷小量不能为零；第二步牛顿又把无穷小量看作零,去掉那些包含它的项,从而得到所要的公式,在力学和几何学的应用证明了这些公式是正确的,但它的数学推导过程却在逻辑上自相矛盾.焦点是：无穷小量是零还是非零?如果是零,怎么能用它做除数?如果不是零,又怎么能把包含着无穷小量的那些项去掉呢?直到19世纪,柯西详细而有系统地发展了极限理论.柯西认为把无穷小量作为确定的量,即使是零,都说不过去,它会与极限的定义发生矛盾.无穷小量应该是要怎样小就怎样小的量,因此本质上它是变量,而且是以零为极限的量,至此柯西澄清了前人的无穷小的概念,而且把无穷小量从形而上学的束缚中解放出来,第二次数学危机基本解决.
第二次数学危机的解决使微积分更完善.
第三次数学危机,发生在十九世纪末.当时英国数学家罗素把集合分成两种.
第一种集合：集合本身不是它的元素,即A A；第二种集合：集合本身是它的一个元素A∈A,例如一切集合所组成的集合.那么对于任何一个集合B,不是第一种集合就是第二种集合.
假设第一种集合的全体构成一个集合M,那么M属于第一种集合还是属于第二种集合.
如果M属于第一种集合,那么M应该是M的一个元素,即M∈M,但是满足M∈M关系的集合应属于第二种集合,出现矛盾.
如果M属于第二种集合,那么M应该是满足M∈M的关系,这样M又是属于第一种集合矛盾.
以上推理过程所形成的俘论叫罗素悖论.由于严格的极限理论的建立,数学上的第一次第二次危机已经解决,但极限理论是以实数理论为基础的,而实数理论又是以集合论为基础的,现在集合论又出现了罗素悖论,因而形成了数学史上更大的危机.从此,数学家们就开始为这场危机寻找解决的办法,其中之一是把集合论建立在一组公理之上,以回避悖论.首先进行这个工作的是德国数学家策梅罗,他提出七条公理,建立了一种不会产生悖论的集合论,又经过德国的另一位数学家弗芝克尔的改进,形成了一个无矛盾的集合论公理系统.即所谓ZF公理系统.这场数学危机到此缓和下来.数学危机给数学发展带来了新的动力.在这场危机中集合论得到较快的发展,数学基础的进步更快,数理逻辑也更加成熟.然而,矛盾和人们意想不到的事仍然不断出现,而且今后仍然会这样.
