已知三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC是边长为1的正三角形,点M在BB1上.

题目没有给出这个三棱柱是不是正三棱柱,若是正三棱柱,则方法如下：
第一个问题：
过M作MN∥BC交CC1于N,令MN的中点为D.
∵ABC－A1B1C1是正三棱柱,∴BM∥CN,又MN∥BC,∴BCNM是平行四边形,
∴MN＝BC＝1,BM＝CN＝√2.
∵ABC－A1B1C1是正三棱柱,∴AB＝AC、∠ABM＝∠ACN＝90°,又BM＝CN,
∴△ABM≌△ACN,∴AM＝AN,而MD＝ND,∴AD⊥MD.
由勾股定理,有：AM＝√（AB^2＋BM^2）＝√（1＋2）＝√3.
∴cos∠AMD＝MD/AM＝（MN/2）/AM＝（1/2）/√3＝√3/6.
∵MN∥BC,∴AM与BC所成的角＝∠AMD,∴AM与BC所成角的余弦值为√3/6.
第二个问题：当BB1＝√2/2时,AB1⊥BC1.
延长CC1至E,使CC1＝C1E.
∵ABC－A1B1C1是正三棱柱,∴∠BB1C1＝90°,BB1∥CE,BB1＝CC1＝C1E,
∴BB1EC1是平行四边形,∴BC∥B1E,且BC1＝B1E.
∴当AB1⊥BC1时,有：AB1⊥B1E.
由勾股定理,有：AB1^2＝AB^2＋BB1^2,　AE^2＝AC^2＋CE^2,　AE^2＝AB1^2＋B1E^2.
∴AC^2＋CE^2＝（AB^2＋BB1^2）＋B1E^2,　∴1＋（2CC1）^2＝1＋BB1^2＋BC1^2
∴4BB1^2＝BB1^2＋（BB1^2＋B1C1）^2　∴2BB1^2＝B1C1^2＝1,　∴BB1＝√2/2.
注：若这个三棱柱不是正三棱柱,则需要说明倾斜的方向与倾斜角的大小.