如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠BAC与∠ABC的平分线相交于点I,延长AI交⊙O于点D,连接BD,DC.

(1)证明:因为AI平分∠BAC,所以∠BAD=∠DAC,所以弧BD=弧DC,所以BD=DC.
因为圆周角∠CBD和圆周角∠DAC对应同一段弧,所以∠CBD=∠CAD,所以∠BAD=∠CBD
又因为BI平分∠AB,所以∠ABI=∠IBC
所以∠IBC+∠CBD=∠ABI+∠BAI 即∠IBD=∠BID所以BD=DI
所以BD=ID=CD
(2)因为∠BAC=120度,所以∠CBD=∠DAC=60度
由(1)知CD=DB,所以三角形CBD是等边三角形
因为圆O是三角形BDC的外接圆,
连接DO并延长交圆O于点E,连结BE,则DE=10cm,∠EBD=90度
又因为弧BD所对的圆周角BED=60度,所以∠BDE=30度
所以BE=5cm
所以BD=根号(10^2-5^2)=5根号3
所以等边三角形BDC的面积=(1/4)根号3(BD^2)=(75/4)根号3