这题主要用意是先消除√(1 + x²)
于是令 x = tanz,dx = sec²z dz
∫ 1/[(1 - x²)√(1 + x²)] dx
= ∫ 1/(1 - tan²z)(secz)] • (sec²z dz)
= ∫ secz/(1 - tan²z) dz
= ∫ 1/cosz • 1/(1 - sin²z/cos²z) dz
= ∫ 1/cosz • cos²z/(cos²z - sin²z) dz
= ∫ cosz/[(1 - sin²z) - sin²z] dz
= ∫ 1/(1 - 2sin²z) d(sinz)
= (1/2)∫ [(1 - √2sinz) + (1 + √2sinz)]/[(1 - √2sinz)(1 + √2sinz)] d(sinz)
= (1/2)∫ [1/(1 + √2sinz) + 1/(1 - √2sinz)] d(sinz)
= (1/2)[(1/√2)ln|1 + √2sinz| - (1/√2)ln|1 - √2sinz|] + C
= [1/(2√2)]ln|(1 + √2sinz)/(1 - √2sinz)| + C
= (√2/4)ln|[1 + √2 • x/√(1 + x²)]/[1 - √2 • x/√(1 + x²)]| + C
= (√2/4)ln|[√(1 + x²) + √2x]/[√(1 + x²) - √2x]| + C
自然对数里面,√(1 + x²) + √2*x是分子,√(1 + x²) - √2*x是分母
其中tanz = x,sinz = x/√(1 + x²)
