方法非常多,我知道的就不下10种,下面提供简单的几种
一是利用归纳法,这个具体过程略.
二是利用立方差公式：
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
.
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
同理利用4次方公式可以得到立方和公式
三是利用物理学原理：
这个需要画图,比较麻烦.我就简单说明一下大概意思：
画一条射线,在坐标中顶点为原点,然后再横坐标为1的位置放一个质量为1的质点,在横坐标为2的位置放2个质量为1的质点,这样继续下去,构成一个正三角形的质点分布图.然后这些质点的对于原点的力矩之和就正好是平方和公式左边；同时根据正三角形的质心和动力臂可以计算所有质点的等价力矩,这就得到等式右边.
