范德蒙行列式可用于证明某组向量线性无关.
比如T是R^n上的一个线性变换,λ1,...,λk为其k个互不相等的特征值,
α1,...,αk为相应的特征向量,W为T的不变子空间,β=α1+...+αk为W中的向量,
证明W的维数不小于k
证明：
由于β∈W,故对β作用多少次T结果也还在W中,
故β,T(β),T^2(β),...,T^(k-1)(β)都在W中
只需证明β,T(β),T^2(β),...,T^(k-1)(β)线性无关
由于
β=α1+...+αk
Tβ=λ1α1+...+λkαk
.
T^(k-1)β=λ1^(n-1)α1+...+λk^(k-1)αk
若存在l1,...,lk使得∑[i=1,k]liT^(i-1)β=0
则V(l1,...,lk)'=0①
V为k阶范德蒙矩阵,且λ1,...,λk彼此不等,故V满秩
故①只有零解,即l1,...,lk全为零
故β,T(β),T^2(β),...,T^(k-1)(β)线性无关
故dim(W)≥k
