A,B是等周双曲线x平方-y平方=1的左右两个顶点,F1是右焦点

你是高中的吧?
斜率就用PF/AF就得到了啊,注意代数式要加绝对值,因为AP的斜率只可能为正的.
角APB就用角APF减去角BPF表示,两边都取正切列等式,而角APF减去角BPF的正切值都可用t表示,故可求出角APB正切值的取值范围,再根据正切函数,可得到角APB的范围~.
主要是求正切值取值范围可能要费点功夫,讨论范围时可以令t大于等于0,因为在x轴上下的情形是一样的,只用考虑一种情况就可以了~.