设函数f（x）的定义域是（0，+∞），对任意正实数m，n恒有f（mn）=f（m）+f（n），且当x＞1时，f（x）＜0，

（1）令m=n=1，则f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0（2分）
令 m＝2，n＝
1
2，则 f(1)＝f(2×
1
2)＝f(2)+f(
1
2)，
∴f(
1
2)＝f(1)−f(2)＝1（4分）
（2）设0＜x₁＜x₂，则
x2
x1＞1
∵当x＞1时，f（x）＜0
∴f(
x2
x1)＜0（6分）
f(x2)＝f(x1×
x2
x1)＝f(x1)+f(
x2
x1)＜f(x1)（9分）
所以f（x）在（0，+∞）上是减函数（10分）．