如图正比例函数y=二分之一x与反比例函数y=x分之k的图像交与A.B两点过B做BC垂直于

（1）设点B（x,y）,则BC=|y|=-y,CO=|x|=-x,
∵B（x,y）在反比例函数y=k/x的图象上,
∴xy=k,因S△BOC=4,
1/2BC•CO=1/2(-x)•(-y)=12xy=4,
∴k=8；
（2）∵k=8,所以反比例函数的解析式为y=8/x,
解方程组：
y=12x
y=8x,
得：x1=4,y1=2；
x2=-4,y2=-2,
∴点A（4,2）,B（-4,-2）；
（3）存在．
当AP⊥x轴时,如图（1）点P（4,0）,
当AP⊥AO时,如图（2）设P（m,0）,过点A作AD⊥x轴于D,
由A（4,2）得AD=2,DO=4,PD=m-4,
在Rt△ADO中,AO^2=AD^2+DO^2=20,
在Rt△ADP中,AP^2=AD^2+DP^2=4+（m-4）^2,
在Rt△AOP中,PO^2=AO^2+AP^2,
即：20+[4+（m-4）^2]=m^2,
解得m=5,
所以P（5,0）,
综上,在x轴上存在点P（4,0）或P（5,0）,使得△POA为直角三角形．
S△ABC
=S△AOC+S△BOC
=1/2CO*BC+1/2*CO*AP
=1/2*4*2+1/2*4*2
=8