证明：当x趋向于无穷大时,f（x）=tanx/x的极限=无穷大.

你这个结论是不正确的
我们不妨用子列来证明这个极限的存在性
构造子列{nπ}{2nπ+π/2},这里n为自然数
显然,当n→+∞时,lim(nπ)=+∞ lim(2nπ+π/2)=+∞
对于两个子列分别有
lim[tanx/x]=lim[(sin(nπ)/nπ)*(1/cosnπ)]=0
lim[tanx/x]=lim[(sin(2nπ+π/2)/(2nπ+π/2))*(1/cos(2nπ+π/2))]=+∞
我们已经知道如下事实,如果x→+∞,limf(x)=lim[tanx/x]如果存在则,其任何以+∞为极限的数列xn,当n→+∞,有limf(xn)存在且等于limf(x)
反过来,当存在两个数列{xn},使得limf(xn)不存在或者不相等的时候,极限
limf(x)就不存在
所以,根据上述讨论当x→+∞时,limf(x)=lim[tanx/x]不存在.