微分几何中的几种典型向量函数

你的理解都是正确的.但是有几点我认为容易误解,长度是常数的曲线就是以原点为心的球面上的一条曲线,方向不变的向量容易错误理解成一阶导数为常数（跟以前的观念不同）,但是微分几何里面的向量函数在空间是条直线并不一定导数为常数（跟参数选择有关系了,很多参数下导数不是常数,但是仍然为直线）,这时直线的充要条件是书上给的那个,那个结论是抓住直线本质---方向向量恒定导出的,而且这条直线肯定经过所选坐标系的原点,你理解得没错.还有第三种特殊曲线---平面曲线,一条正则曲线是平面曲线的充要条件由挠率和frenet的知识点推出,这个时候没有学挠率的时候附加的那个“一阶导数和原向量函数外积非零”条件其实对正则曲线可以取消了.我也正在学微分几何,而且和你一样的教材,有机会可以交流下.
最后,希望可以帮到你.