正定矩阵的性质有哪些

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正定矩阵的性质有哪些
1个回答 分类:综合 2014-11-11

问题解答:

我来补答
  一. 定义
  因为正定二次型与正定矩阵有密切的联系,所以在定义正定矩阵之前,让我们先定义正定二次型:
  设有二次型 ,如果对任何x 0都有f(x)>0( 0) ,则称f(x) 为正定(半正定)二次型.
  相应的,正定(半正定)矩阵和负定(半负定)矩阵的定义为:
  令A为 阶对称矩阵,若对任意n 维向量 x 0都有 >0(≥0)则称A正定(半正定)矩阵;反之,令A为n 阶对称矩阵,若对任意 n 维向量 x≠0 ,都有 <0(≤ 0),则称A负定(半负定)矩阵.
  例如,单位矩阵E 就是正定矩阵.
  二. 正定矩阵的一些判别方法
  由正定矩阵的概念可知,判别正定矩阵有如下方法:
  1.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A的 n 个特征值全是正数.
  证明:若 ,则有
  ∴λ>0
  反之,必存在U使
  即
  有
  这就证明了A正定.
  由上面的判别正定性的方法,不难得到A为半正定矩阵的充要条件是:A的特征值全部非负.
  2.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E.
  证明:A正定
  二次型 正定
  A的正惯性指数为n
  3.n阶对称矩阵A正定(半正定)的充分必要条件是存在 n阶可逆矩阵U使 ;进一步有 (B为正定(半正定)矩阵).
  证明:n阶对称矩阵A正定,则存在可逆矩阵U使
  令 则
  令 则
  反之,
  ∴A正定.
  同理可证A为半正定时的情况.
  4.n阶对称矩阵A正定,则A的主对角线元素 ,且 .
  证明:(1)∵n阶对称矩阵A正定
  ∴ 是正定二次型
  现取一组不全为0 的数0,…,0,1,0…0(其中第I个数为1)代入,有
  ∴
  ∴A正定
  ∴存在可逆矩阵C ,使
  5.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是:A的 n 个顺序主子式全大于零.
  证明:必要性:
  设二次型 是正定的
  对每个k,k=1,2,…,n,令
  ,
  现证 是一个k元二次型.
  ∵对任意k个不全为零的实数 ,有
  ∴ 是正定的
  ∴ 的矩阵
  是正定矩阵
  即
  即A的顺序主子式全大于零.
  充分性:
  对n作数学归纳法
  当n=1时,
  ∵ ,显然 是正定的.
  假设对n-1元实二次型结论成立,现在证明n元的情形.
  令 ,,
  ∴A可分块写成
  ∵A的顺序主子式全大于零
  ∴ 的顺序主子式也全大于零
  由归纳假设,是正定矩阵即,存在n-1阶可逆矩阵Q使
  令
  ∴
  再令 ,
  有
  令 ,
  就有
  两边取行列式,则
  由条件 得a>0
  显然
  即A合同于E ,
  ∴A是正定的.
  三. 负定矩阵的一些判别方法
  1.n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的负惯性指数为n.
  2.n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的特征值全小于零.
  3.n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的顺序主子式 满足
  ,
  即奇数阶顺序主子式全小于零,偶数阶顺序主子式全大于零.
  由于A是负定的当且仅当-A是正定的,所以上叙结论不难从正定性的有关结论直接得出,故证明略.
  四.半正定矩阵的一些判别方法
  1. n阶对称矩阵A是半正定矩阵的充分必要条件是A的正惯性指数等于它的秩.
  2. n阶对称矩阵A是半正定矩阵的充分必要条件是A的特征值全大于等于零,但至少有一个特征值等于零.
  3. n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的各阶主子式全大于等于零,但至少有一个主子式等于零.
  注:3中指的是主子式而不是顺序主子式,实际上,只有顺序主子式大于等于零并不能保证A是半正定的,例如:
  矩阵 的顺序主子式 ,,,
  但A并不是半正定的.
  关于半负定也有类似的定理,这里不再写出.
 
 
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