A是m*n矩阵,B是n*s矩阵,X是n*1矩阵,证明AB=O的充要条件是B的每一列都是齐次方程组AX=O的解

设B=[b1,b2,……,bs]
那么
AB=O
A[b1,b2,……,bs]=[O,O,……,O]
Abi=0,(i=1……s)
即bi(i=1,2,...,s)是AX=O的解
或者是设B=(B1,B2,.,Bs)
AB=A(B1,B2,.,Bs)=(AB1,AB2,.,ABs)=(0,0,.,0)
ABi=0
所以
B的列向量Bi都是AX=0的解.
以上过程步步可逆,所以
AB=0的充要条件是B的每个列向量均为齐次线性方程组AX=0的解.