n阶实对称幂等矩阵A（即A2=A）它的秩为r,求标准型

设a是A的特征值
则 a^2-a 是 A^2-A 的特征值
因为 A^2-A=0
所以 a^2-a = 0
所以 a=1 或 a=0
即A的特征值只能是1 或 0.
又因为A为实对称矩阵,所以A必可正交对角化
即存在正交矩阵T满足 T^-1AT = diag(a1,a2,.,an)
其中ai是A的特征值.
由上知 ai 为1或0
故有 T^-1AT = diag(1,...,1,0,...,0).
由 r(A)=r,所以 diag(1,...,1,0,...,0) 中1的个数为r.
所以 二次型的标准形为 y1^2+...+yr^2