If I had remembered --- the window,the thief would not have

emember后接不定式作宾语表示未做的动作,这是一个非真实条件虚拟语气.
根据句意,应该填写to close
分析：首先remember to do sth 表示为记得要去做某事,此时事情还没有发生；remember doing sth,表示记得做了某事,事情已经发生了,当事人还记得.
其次,此句为过去完成时,那么就为had remembered to do sth,和had remember doing sth,根据整个句子的意思,如果我把窗子怎么样,小偷就不会进来了.显然是如果记得关上窗子,小偷就不会进来了.那么这也表明,实际上小偷已经进来过了,表示窗子没被关上.那么事情没有发生的就用to do sth.
因此括号内填 to close